如何計算區域的下邊界？
如下圖所示，如何計算曲線的下邊界？
設輸入的數據為 \(\{(x_n, y_n)\}_{n=1}^{N}\), 直線方程為 \(y = k x + b\)。 根據拉格朗日乘子法，求解優化問題
\[ \begin{align} \min_{k, b} \quad & f(k, b) = \sum_{n=1}^{N}{ (y_n - k x_n - b)^2 } \\text{s.t.} \quad & y_n \ge k x_n + b, \quad n = 1, \cdots, N \end{align} \]
等價於最小化
\[ \begin{align} \min_{k, b} \quad & g(k, b, \lambda) = \sum_{n=1}^{N}{ [(y_n - k x_n - b)^2 + \lambda_n(k x_n + b - y_n)]} \\text{s.t.} \quad & \lambda_n \ge 0, \quad n = 1, \cdots, N \end{align} \]
其最優解滿足KKT條件
\[ \begin{align} 2\sum_{n=1}^{N}{(y_n - k x_n - b)x_n} = \sum_{n=1}^{N} {\lambda_n x_n} \2\sum_{n=1}^{N}{(y_n - k x_n - b)} = \sum_{n=1}^{N} {\lambda_n} \\lambda_n(y_n - k x_n - b) = 0, \quad n = 1, \cdots, N \y_n \ge k x_n + b, \quad n = 1, \cdots, N \\lambda_n \ge 0, \quad n = 1, \cdots, N \end{align} \]
其中，關於 \(k\) 和 \(b\) 的方程可以寫為
\[
\begin{align}
(2\sum_{n=1}^{N}{ x_n ^2}) k + ( 2\sum_{n=1}^{N}{ x_n}) b & = 2\sum_{n=1}^{N}{y_n x_n} - \sum_{n=1}^{N} {\lambda_n x_n} \(2\sum_{n=1}^{N}{x_n} ) k + 2Nb & = 2\sum_{n=1}^{N}{y_n} - \sum_{n=1}^{N} {\lambda_n}
\end{align}
\]
寫成矩陣形式
\[
\begin{align}
\left[\begin{array}{cc}
\sum_{n=1}^{N}{ x_n ^2} & \sum_{n=1}^{N}{ x_n} \2\sum_{n=1}^{N}{x_n} & N
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} k \\ b \end{array} \right]
& = \left[\begin{array}{c}
\sum_{n=1}^{N}{y_n x_n} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} {\lambda_n x_n} \\sum_{n=1}^{N}{y_n} - \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} {\lambda_n}
\end{array}\right]
\end{align}
\]
如何計算區域的下邊界？