趣談生成函數 =v=

今天luyouqi在洛谷隨機跳題rand出來一道生成函數板子題，然後我給做了（霧

發現小夥伴們還不會生成函數，於是我試著寫這篇生成函數簡介。（其實我也不怎麽會生成函數這麽高級的東西，本篇純屬道聽途說，大家看著當故事娛樂一下就好）

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從前有一個無限長的隨便一個數列\(a = \{2, 1, 4, 7, 4\}\)，有一天，一個大佬說：能不能用一個函數表示這個數列呢？於是大佬把\(a\)的每一項當做一個多項式的系數，得到了多項式函數\(f(x) = 2 + x + 4x^2 + 7x^3 + 4x^4\)，用來表示上面那個序列。大佬很開心。

大佬的朋友——蒟蒻感到疑惑：這個函數代入一個\(x\)，得到的東西有什麽意義啊？

大佬思考了一會，說：也沒什麽意義。

蒟蒻說：那你研究它有個*兒用？

大佬又思考了一會，找到了它的一種用途。假如數列\(a\)代表一類物品，中\(a_i\)表示這類物品中選\(i\)件物品的方案數——例如\(a = \{1, 1, 1\}\)表示A類物品中可以選0件或1件或2件，但不能選大於2件；又例如無限長數列\(b = \{1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1...\}\)表示B類物品只能選3的倍數件。這時候，把\(f(x) = 1 + x + x^2\)和\(g(x) = 1 + x^3 + x^6 + x^9 ...\)

蒟蒻說：這有啥，不就是把兩個多項式乘起來麽？和\(O(n^2)\)一個個枚舉有什麽區別？

大佬說：嗯……你可以FFT……

蒟蒻：哦。沒有這個函數我也知道可以FFT。

大佬不認為這個“用函數表示數列”的東西很沒用，他決定繼續研究，還給它取了個名字叫做數列的“生成函數”，表示用這個函數能生成（表示）一個數列。

有一天，大佬告訴蒟蒻他發現了一個規律——\(a = \{1, 1, 1, 1, 1...\}\)

蒟蒻說：老哥，您不會是研究數學研究傻了吧？它的生成函數不是\(1 + x + x^2 + x^3...\)嘛？怎麽會等於您這個\(\frac{1}{1 - x}\)呢？

大佬說：對啊！\(1 + x + x^2 + x^3...\)就等於\(\frac{1}{1 - x}\)！

蒟蒻：餵，大連市第七人民醫院嘛？

大佬：……在\(x\in (-1, 1)\)的時候。

蒟蒻：你不早說！等等，為什麽\(x\in (-1, 1)\)時就相等了？

大佬：等比數列求和公式啊，\(1 + x + x^2 + x^3...\)的前\(n\)項和等於\(\frac{1 - x^n}{1 - x}\)，這是個無限長的數列，\(n\)趨近於無窮的時候\(x^n\)趨近於0，這不就相等了嘛！

蒟蒻：啊，對啊！可是好好的一個函數，你憑空給限定了定義域，這還是原來那個函數嘛？

大佬：不是你說的生成函數中的\(x\)沒有意義嘛！還有，你看\(1 + x^2 + x^4 + x^6...\)這個函數，它是不是等於\(\frac{1}{1-x^2}\)？

蒟蒻：對，把前一個式子中的\(x\)換成\(x^2\)不就好了嘛！可是\(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3...\)這個函數，它等於什麽？

大佬：等於\(\frac{1}{(1 - x)^2}\)啊！你看，這兩式子分別求導，得到……算了，說了你也不懂，那你把兩個\(1 + x + x^2 + x^3...\)乘起來不就好了嘛！

蒟蒻：蛤？我看看……的確誒！

大佬：我還知道\(1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + 15x^4...\)的生成函數是多少呢！是\(\frac{1}{(1-x)^3}\)！推廣開來，\(\frac{1}{(1 - x)^k}\)生成的數列是\(\sum_i^\infty C_{i + k - 1}^{k - 1}\)！

蒟蒻：為什麽啊？

大佬：你看\(\frac{1}{(1 - x)^k}\)就是\(k\)個\(\frac{1}{1 - x}\)相乘，就是\(k\)個\(1 + x + x^2 + x^3...\)相乘嘛。那麽它的第\(i\)項系數就是從\(k\)個\(1 + x + x^2 + x^3...\)中每個選出一項，乘起來恰為\(x^i\)的方案數，就是\(i = x_1 + x_2 + ... + x_k\)的非負整數解的組數，你用組合數學中的所謂“隔板法”求一下，是不是\(C_{i + k - 1}^{k - 1}\)？

蒟蒻：有道理！

大佬：了解了\(\frac{1}{1-x^k}\)和\(\frac{1}{(1-x)^k}\)這兩種特殊生成函數，就掌握了一類題的技巧——來做道題吧！Luogu P2000 歡迎你！

大佬：我還會用生成函數求斐波那契數列通項！

蒟蒻：這麽牛逼？

大佬：首先啊，你看這個斐波那契數列的生成函數\(f(x) = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5...\)，然後把它乘個\(x\)，得\(x\cdot f(x) = x + x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5...\)，用前式減去後式，得到\(f(x) - x \cdot f(x) = 1 + x ^ 2 + x^3 + 2x^4 + 3x^5... = 1 + x^2 \cdot f(x)\)，所以\(f(x) = \frac{1}{1 - x - x^2}\)！

蒟蒻：可是這不是我們之前見過的那兩種特殊生成函數，你怎麽把它還原成數列呢？

大佬：我打算把它變成等比數列求和的形式！這個分母\(1-x-x^2\)是可以因式分解的，分解後就是\((1-\frac{1-\sqrt5}{2})(1-\frac{1+\sqrt5}{2})\)，所以\(\frac{1}{1 - x - x^2} = \frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2})(1-\frac{1+\sqrt5}{2})}\)，看著非常難受，裂項一下，得到\[ \frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2})(1-\frac{1+\sqrt5}{2})} = -\frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt5}{2})} + \frac{1}{\sqrt5}\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt5}{2})}\]。這就成了兩個等比數列求和公式乘個常數再相加的形式了！把兩個等比數列還原成數列，得到\[fib_n = -\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1-\sqrt5}{2})^n + \frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n\]，這就是斐波那契數列通項公式了！

蒟蒻：哇！這麽神奇！

大佬：據說這種方法可以應用到各種線性齊次遞推中哦～

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