https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4589

Claris和NanoApe在玩石子遊戲，他們有n堆石子，規則如下： 1. Claris和NanoApe兩個人輪流拿石子，Claris先拿。 2. 每次只能從一堆中取若幹個，可將一堆全取走，但不可不取，拿到最後1顆石子的人獲勝。 不同的初始局面，決定了最終的獲勝者，有些局面下先拿的Claris會贏，其余的局面Claris會負。 Claris很好奇，如果這n堆石子滿足每堆石子的初始數量是不超過m的質數，而且他們都會按照最優策略玩遊戲，那麽NanoApe能獲勝的局面有多少種。 由於答案可能很大，你只需要給出答案對10^9+7取模的值。

天哪這個tinymce可以用latex我才知道……以及我還是想不到dp啊。

用到一個結論：後手獲勝條件是每堆石子異或和為0。

設$f[i][j]$為前$i$堆異或和為$j$的方案數，$g[i]$表示$i$是否為質數。

於是$f[i][j]=\sum_{k=0}^mf[i-1][j\oplus k]g[k]$

然後變成卷積就是$f[i][j]=\sum_{a\oplus b=j}f[i-1][a]g[b]$

同樣還是把$f[i-1][a]$遞歸展開發現是卷積套卷積……n次，於是FWT快速冪就好了。

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using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
 
const int p=1e9+7;
const int inv=500000004;
inline int add(int x,int y){
    x+=y;if(x>=p)x-=p;return x;
}
inline int sub(int x,int y){
    x-=y;if(x<0)x+=p;return x;
}
void FWT(int a[],int n,int on){
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
    for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
        for(int k=0;k<i;k++){
        int u=a[j+k],t=a[j+k+i];
        a[j+k]=add(u,t);
        a[j+k+i]=sub(u,t);
        if(on==-1){
            a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv%p;
            a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv%p;
        }
        }
    }
    }
}
int qpow(int k,int n){
    int res=1;
    while(n){
    if(n&1)res=(ll)res*k%p;
    k=(ll)k*k%p;n>>=1;
    }
    return res;
}
int pri[N],g[N],a[N],b[N],tot;
void Euler(int n){
    g[0]=g[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!g[i])pri[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;j++){
        if(i*pri[j]>n)break;
        g[i*pri[j]]=1;
        if(i%pri[j]==0)break;
    }
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)g[i]^=1;
}
int n,m;
int main(){
    Euler(5e4);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
    int len=1;
    while(len<=m)len<<=1;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    a[0]=1;
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i]=g[i];
    FWT(a,len,1);FWT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*qpow(b[i],n)%p;
    FWT(a,len,-1);
    printf("%d\n",a[0]);
    }
    return 0;
}

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BZOJ4589：Hard Nim——題解