-- turn names rime 正整數 space 可能 操作 put

BZOJ_4026_dC Loves Number Theory _主席樹+歐拉函數

Description

dC 在秒了BZOJ 上所有的數論題後，感覺萌萌噠，想出了這麽一道水題，來拯救日益枯 竭的水題資源。 給定一個長度為 n的正整數序列A，有q次詢問，每次詢問一段區間內所有元素乘積的 φ（φ(n)代表1~n 中與n互質的數的個數） 。由於答案可能很大，所以請對答案 mod 10^6 + 777。 （本題強制在線，所有詢問操作的l,r都需要 xor上一次詢問的答案 lastans，初始時， lastans = 0）

Input

第一行，兩個正整數，N，Q，表示序列的長度和詢問的個數。

第二行有N 個正整數，第i個表示Ai. 下面Q行，每行兩個正整數，l r，表示詢問[l ^ lastans,r ^ lastans]內所有元素乘積的φ

Output

Q行，對於每個詢問輸出一個整數。

Sample Input

5 10
3 7 10 10 5
3 4
42 44
241 242
14 9
1201 1201
0 6
245 245
7 7
6 1
1203 1203

Sample Output

40
240
12
1200
2
240
4
4
1200
4

HINT

1 <= N <= 50000

1 <= Q <= 100000 1 <= Ai <= 10^6

---

我們處理出前綴積，問題就轉化為求區間所有的p-1/p乘起來。 於是我們對ai含有的質因子p,在i對應的位置乘上p-1/p，在pre[p]的位置乘上p/p-1. 然後查詢時找到r處的線段樹，查詢l到r的區間乘積即可。 代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000777;
#define N 50050
#define M 1005050
int inv[M],n,m,a[N];
int prime[M],cnt,vis[M],s[N],root[N],tot,mul[N*100],lst[M],ls[N*100],rs[N*100],ans,mx;
void init() {
    int i,j;
    for(i=2;i<=mx;i++) {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
        for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=mx;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    inv[1]=1;
    for(i=2;i<mod;i++) inv[i]=ll(mod-(mod/i))*inv[mod%i]%mod;
}
void insert(int l,int r,int v,int c,int &y,int x) {
    y=++tot;
    mul[y]=ll(mul[x])*c%mod;
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(v<=mid) rs[y]=rs[x],insert(l,mid,v,c,ls[y],ls[x]);
    else ls[y]=ls[x],insert(mid+1,r,v,c,rs[y],rs[x]);
}
int query(int l,int r,int x,int y,int p) {
    if(x<=l&&y>=r) return mul[p];
    int mid=(l+r)>>1,re=1;
    if(x<=mid) re=ll(re)*query(l,mid,x,y,ls[p])%mod;
    if(y>mid) re=ll(re)*query(mid+1,r,x,y,rs[p])%mod;
    return re;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i,j,x,y;
    mul[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mx=max(mx,a[i]);
    init();
    for(s[0]=1,i=1;i<=n;i++) {
        // scanf("%d",&a[i]);
        // printf("%d:\n",a[i]);
        int tmp=a[i]; root[i]=root[i-1];
        if(a[i]==1) {
            s[i]=s[i-1]; continue;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&prime[j]*prime[j]<=tmp;j++) {
            if(tmp%prime[j]==0) {
                // printf(" %d ",prime[j]);
                if(lst[prime[j]]) insert(1,n,lst[prime[j]],ll(prime[j])*inv[prime[j]-1]%mod,root[i],root[i]);
                insert(1,n,i,ll(prime[j]-1)*inv[prime[j]]%mod,root[i],root[i]);
                lst[prime[j]]=i;
                while(tmp%prime[j]==0) tmp/=prime[j];
            }
        }
        if(tmp!=1) {
            if(lst[tmp]) insert(1,n,lst[tmp],ll(tmp)*inv[tmp-1]%mod,root[i],root[i]);
            insert(1,n,i,ll(tmp-1)*inv[tmp]%mod,root[i],root[i]);
            lst[tmp]=i;
        }
        // puts("");
        s[i]=ll(s[i-1])*a[i]%mod;
    }
    // ans=40;
    while(m--) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x^=ans; y^=ans;
        if(x>y) swap(x,y);
        printf("%d\n",ans=ll(s[y])*inv[s[x-1]]%mod*query(1,n,x,y,root[y])%mod);
    }
}
/*
5 10
3 7 10 10 5 
3 4
42 44
241 242
14 9
1201 1201
0 6
245 245
7 7
6 1
1203 1203
*/

BZOJ_4026_dC Loves Number Theory _主席樹+歐拉函數