Codeforces

洛谷：咕咕咕

CF少有的大數據結構題。

思路

考慮一些歐拉函數的性質：
\[ \varphi(p)=p-1\\varphi(p^k)=p^{k-1}\times (p-1)=p^k \times \frac{p-1}{p},k>0\\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),gcd(a,b)=1\\dots \]
有上面三個就夠了。

要求
\[ \varphi(\prod a_i) \]
可以考慮把\(\prod a_i\)拆成
\[ \prod p_i^{k_i} \]
則有
\[ \begin{align*} ans&=\varphi(\prod a_i)\&=\prod \varphi(p_i ^{k_i})\&=\prod p_i ^{k_i}\times \frac{p_i-1}{p_i}\&=\prod a_i \prod \frac{p_i-1}{p_i} \end{align*} \]

於是可以維護區間積、區間是否出現。篩一下發現\(\le 300\)的質數只有\(62\)個，狀壓即可。

復雜度\(O(n\log n+q\log^2 n)\)，鬼知道這東西怎麽跑過去\(n=4\times 10^5,q=2\times 10^5\)的……CF機子厲害呀。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pll pair<ll,ll>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define sz 404040
    #define mod (ll(1e9+7))
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    template<typename T>inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    template<typename T>inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>‘9‘||ch<‘0‘) f|=(ch==‘-‘),ch=getchar();
        while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘) t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch==‘.‘){ch=getchar();while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘) t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.txt","r",stdin);
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,Q;

int pri[66],cnt;
bool npri[333];
void init()
{
    int n=300;
    #define xx (i*pri[j])
    rep(i,2,n)
    {
        if (!npri[i]) pri[++cnt]=i;
        rep(j,1,cnt)
        {
            if (xx>n) break;
            npri[xx]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    #undef xx
}

ll tr[sz<<2],tag[sz<<2];
ll S[sz<<2],tg[sz<<2];
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
void Mul(int k,int l,int r,ll mul){tag[k]=tag[k]*mul%mod;tr[k]=tr[k]*ksm(mul,r-l+1)%mod;}
void Or(int k,ll s){S[k]|=s;tg[k]|=s;}
void pushdown(int k,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if (tag[k]!=1) { Mul(lson,tag[k]); Mul(rson,tag[k]); }
    Or(ls,tg[k]);Or(rs,tg[k]);
    tag[k]=1;tg[k]=0;
} 
void pushup(int k){tr[k]=tr[ls]*tr[rs]%mod;S[k]=S[ls]|S[rs];}
void update(int k,int l,int r,int x,int y,ll mul,ll s)
{
    if (x<=l&&r<=y) return Mul(k,l,r,mul),Or(k,s);
    int mid=(l+r)>>1;
    pushdown(k,l,r);
    if (x<=mid) update(lson,x,y,mul,s);
    if (y>mid) update(rson,x,y,mul,s);
    pushup(k);
}
pll query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
    if (x<=l&&r<=y) return MP(tr[k],S[k]);
    pushdown(k,l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    pll ret(1,0),L,R;
    if (x<=mid) L=query(lson,x,y),ret.fir=ret.fir*L.fir%mod,ret.sec|=L.sec;
    if (y>mid) R=query(rson,x,y),ret.fir=ret.fir*R.fir%mod,ret.sec|=R.sec;
    return ret;
}
void build(int k,int l,int r)
{
    tag[k]=1;tg[k]=0;
    if (l==r) 
    {
        int x;read(x);
        tr[k]=x;
        rep(i,1,cnt)
            if (x%pri[i]==0)
                S[k]|=(1ll<<(i-1));
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lson);build(rson);
    pushup(k);
}
ll query(int l,int r)
{
    pll x=query(1,1,n,l,r);
    ll ret=x.fir;
    rep(i,1,cnt) 
        if (x.sec&(1ll<<(i-1)))
            ret=ret*(pri[i]-1)%mod*inv(pri[i])%mod;
    return ret;
}
void modify(int l,int r,int x)
{
    ll s=0;
    rep(i,1,cnt) 
        if (x%pri[i]==0)
            s|=(1ll<<(i-1));
    update(1,1,n,l,r,x,s);
}

int main()
{
    file();
    init();
    read(n,Q);
    build(1,1,n);
    char s[10];
    int x,y,z;
    while (Q--)
    {
        scanf("%s",s);read(x,y);
        if (s[0]==‘T‘) printf("%I64d\n",query(x,y));
        else read(z),modify(x,y,z);
    }
    return 0;
}
 

Codeforces 1114F Please, another Queries on Array? [線段樹，歐拉函數]