一、定義

定義：給定兩個整數a，b,必有公共的因數，叫做它們的公因數，當a,b不全部為0時，在有限個公因數中最大的那個叫做a、b的最大公因數，記作(a,b)

二、一種方法——輾轉相除法

描述：設a,b為任意兩個整數，且b不為0，應用帶余除法，以b除a,得到商q1,余數r1；如果余數r1不為0，以r1除b，得到商q2，余數r2;如果r2不等於0，以r2除r1,如此繼續下去，在有限個除法後，必然得到rn不為0且整除rn-1。

三、最大公約數的性質

關於最大公約數有一條重要的性質，這條性質在求解一次同余方程和不定方程時經常遇到。

1)

證明：不妨設b>0,用b除a,則有a = b*q1 + r1,

若r1 = 0,(a,b) = (b,r1) = b;所以(a,b) = a * 0 + b * 1

若r1 != 0,用r1除b;b = r1 * q2 + r2,

　　若r2 = 0,(a,b) = (b,r1) = (r1,r2) = r1 = a - b * q1;所以(a,b) = a * 0 + b * (-q1)

　　若r2 != 0,用r2 除r1;r1 = r2 * q3 + r3.

　　　　若r3 = 0,(a,b) = (r2,r3) = r2 = b - r1 * q2 = b - (a - b * q1) * q2;所以(a,b) = a * (-q2) + b * (1 + q1 * q2)

　　　　若r2 != 0,用r3 除r2........

由於最大公因數一定存在，所以一定可以經過有限次 得到rn = 0,所以這樣的m,n一定存在且可以求出來。

2）由上面那條性質，可以推出整數的一條性質

證明：因為（a,b） = 1，所以存在整數m,n,使得am + bn = (a,b) = 1,

　　於是(ac)m + (bc)m = c

　　因為a | ac,a | bc，所以a | (ac)m + (bc)m,即a | c

初等數論初步——最大公因數