定義

對於互質的\(a, b\)，即\(gcd(a, b) > 1\)，有以下遞推式:

\[f_0 = 0, f_1 = 1, f_n = a \times f_{n - 1} + b \times f_{n - 2} (n \ge 2)\]

引理1:\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)

證明略

引理2:若\(\gcd(b, c) = 1\)，則\(\gcd(a \times c, b) = \gcd(a, b)\)

證明略

定理1:\(\gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1\)

證明:

當\(n \le 2\)時，結論顯然成立

當\(n > 2\)

令\(g = \gcd(f_n, b)\)，則有\(g|f_n, g|b\)

因為\(f_n = a \times f_{n - 1} + b \times f_{n - 2}, \gcd(a, b) = 1\)，所以\(g|f_{n_1}\)，則有\(g | \gcd(f_n, f_{n - 1})\)

由此可得\(\gcd(f_n, f_{n - 1}) = 1 \Longrightarrow \gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1\)

數學歸納即可

定理2:\(f_n = f_{i + 1} \times f_{n - 1} + b \times f_{n - i - 1} \times f_{n - i - 1} (1 \le i < n)\)

數學歸納即可

定理3:\(\gcd(f_n, f_m) = f_{\gcd(n, m)}\)

證明:

不失一般性假設\(n \ge m\)

當\(n = m\)，結論顯然成立

當\(n = m + 1\)，根據定理1，有\(\gcd(f_n, f_m) = 1\)，且\(f_{\gcd(n, m)} = f_1 = 1\)，結論成立

當\(n > m + 1\)，根據定理2，有\(f_n = f_{n - m} \times f_{m + 1} + b \times f_{n - m - 1} \times f_m\)

則\(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{n - m} \times f_{m + 1} + b \times f_{n - m - 1} \times f_m, f_m) = \gcd(f_{n - m} \times f_{m + 1}, f_m) = \gcd(f_{n - m}, f_m)\)

即可得\(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_m, f_{n \bmod m})\)

證畢

特殊二階遞推式的一個關於最大公因數的性質