（切）糕（動歸）

一個集合的價值為其中的最大數減去最小數。給定n個數，請問有多少種劃分集合的方案，使得集合的總價值小於k？

我們先把所有元素排好序。由於一個數必須被選，我們可以定義狀態\(f[i][j][k]\)，表示選到第i個數，未結束集合數為j，集合總價值為k的方案數。由於一個數可以開啟一個集合，關閉一個集合，中繼當前的任何一個集合，也可以獨占一個集合，因此一共有四種轉移：\(f[i][j][k]=\begin{aligned} f[i-1][j-1][k-(a[i]-a[i-1])*(j-1)] \\ +f[i-1][j][k-(a[i]-a[i-1])*j]*j \\ +f[i-1][j+1][k-(a[i]-a[i-1])*(j+1)]*(j+1) \\ +f[i-1][j][k-(a[i]-a[i-1])*j] \end{aligned}\)

似乎這是一種集合計數題的常見套路呢……

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL maxn=205, maxk=1005, mod=1e9+7;
LL f[maxn][maxn][maxk];
LL a[maxn], n, K;

void up(LL i1, LL j1, LL k1, LL i2, LL j2, LL k2, LL x){
    if (i2<0||j2<0||k2<0) return;
    f[i1][j1][k1]+=f[i2][j2][k2]*x; f[i1][j1][k1]%=mod;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld", &n, &K);
    for (LL i=1; i<=n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    sort(a+1, a+n+1);
    f[0][0][0]=1;
    for (LL i=1; i<=n; ++i)
    for (LL j=0; j<=n; ++j)
    for (LL k=0; k<=K; ++k){
        up(i,j,k,i-1,j-1,k-(a[i]-a[i-1])*(j-1),1);
        up(i,j,k,i-1,j,k-(a[i]-a[i-1])*j,j);
        up(i,j,k,i-1,j,k-(a[i]-a[i-1])*j,1);
        up(i,j,k,i-1,j+1,k-(a[i]-a[i-1])*(j+1),j+1);
    } LL ans=0;
    for (LL k=0; k<=K; ++k) ans+=f[n][0][k], ans%=mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}
 

安拉胡阿克巴！

（切）糕（動歸）