斜率優化DP首題，多寫一點吧。

Step 1 寫出DP方程

設\(f_i\)為\(i\)點時的最優方案，\(s_i\)為\(i\)點\(C_i\)前綴和，則有\(f_i = min\{f_j+(i-j-1+s_i-s_j-l)^2\mid 0\le j < i-1\}\)。

Step 2 證明決策單調性

不要被這個“決策單調性”給唬住，其實就是證明：若在計算\(f_i\)的時候，選\(j\)比選\(k\)好，那麽之後永遠都有選\(j\)比選\(k\)好。

證明：
首先設\(t_x = s_x+x,c = l+1\)且\(j > k\)，選\(j\)比選\(k\)好，簡化之後的表示
\(f_j+(t_i-t_j-c)^2 < f_k + (t_i-t_j-c)^2\)

Step 3 構造斜率形式

這一步其實就是看分子分母，化出和\(j\)，\(k\)有關的式子，就可以了。

設\(F_x = t_x^2+f_x+2ct_x\)，\(G_x=2t_x\)
則原式可化成\(\displaystyle\frac{F_j-F_k}{G_j-G_k}<t_i\)

Step 4 證明斜率單調

設\(x, y, z\)滿足\(x < y < z\)，且\(K_{x,y}>K_{y,z}\)，則選\(y\)不可能更優。

證明：考慮反證法，若\(y\)優於\(x\)和\(z\)，則有：
\(\displaystyle\frac{F_z-F_y}{G_z-G_y}>t_i\)（這個式子其實是將Step2中的\(j>k\)反過來推出來的）
和\(\displaystyle\frac{F_y-F_x}{G_y-G_x}<t_i\)
即\(K_{y,z}=\displaystyle\frac{F_z-F_y}{G_z-G_y}>\displaystyle\frac{F_y-F_x}{G_y-G_x}=K_{x,y}\)與題設矛盾。

這裏應該先考慮\(y\)優於\(x\)和\(z\)，推出式子後得出斜率的單調結論。

Step 5 單調隊列優化DP

單調隊列是一個雙端隊列。

由於Step2,3，若在\(i\)處有\(K_{k,j}<t_i\)(\(k, j\)位於隊首)，則應該令\(k\)出隊，反復執行直至隊列中只有一個元素或不滿足條件為止，此時隊首即為決策。

當計算出\(f_i\)後，利用Step4的結論，在隊尾不斷出隊直至直至隊列中只有一個元素或不滿足條件為止，並將\(i\)放入隊尾。

Step 6 Coding

貼上我寫的巨醜無比的代碼：

#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long LL;
const int N = 50000 + 10;
const double eps = 1e-10;

int n, l;
LL C[N], f[N], s[N], t[N], c, F[N], G[N];
int q[N], qhd, qtl;

inline double K(int x, int y) {
    return 1.0 * (F[x] - F[y]) / (G[x] - G[y]); 
}

inline int dcmp(double x) {
    if (fabs(x) < eps) return 0;
    else if (x < 0) return -1;
    else return 1;
}

int main () {
    // input
    scanf("%d%d", &n, &l);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &C[i]);
    // init
    c = l + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        s[i] = s[i-1] + C[i];
        t[i] = s[i] + i;
        G[i] = 2 * t[i];
    }
    // dp 
    f[0] = 0;
    q[qtl++] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        while (qhd < qtl - 1) {
            if (dcmp(K(q[qhd], q[qhd+1]) - t[i]) == -1) qhd++;
            else break;
        }
        int j = q[qhd];
        f[i] = f[j] + (t[i] - t[j] - c) * (t[i] - t[j] - c);
        F[i] = t[i] * t[i] + f[i] + 2 * c * t[i];  // mark
        while (qhd < qtl - 1) {
            if (dcmp(K(q[qtl-1], q[qtl-2]) - K(q[qtl-1], i)) == 1) qtl--;
            else break;
        }
        q[qtl++] = i;
    }   
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}

這個題是我寫的斜率優化DP的第一題，感覺斜率優化很模板化，只需要一點點推就行了，要註意的一點是斜率優化的復雜度\(O(n)\)的，另外，演草時要好好寫字，否則真的會看不清...（例如mark處我一開始寫的是+t[i]）

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