很明顯我們得到樸素的轉移方程dp[i]=min{dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2,dp[i]}(0≤j<i)
時間複雜度為O(N2)
我們定義f[i]=sum[i]+i,C=L+1,那麼上式轉變成dp[i]=min{dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2,dp[i]}(0≤j<i)
然後我們來證明決策的單調性
假設在i處有兩個決策點j,k(j<k),且k的決策比j好
即要證明

dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2>dp[k]+(f[i]−f[k]−C)2——————[1]
假設i後面的某狀態t有f[t]=f[i]+v(t>i

)
我們想知道i對於後面狀態t的影響,那麼要證明
dp[j]+(f[t]−f[j]−C)2dp[j]+(f[i]+v−f[j]−C)2dp[j]+(f[i]−f[j]−C)2+2⋅v⋅(f[i]−f[j]−C)+v2>>>dp[k]+(f[t]−f[k]−C)2dp[k]+(f[i]+v−f[k]−C)2dp[k]+(f[i]−f[k]−C)2+2⋅v⋅(f[i]−f[k]−C)+v2
由[1]我們得到
(f[i]−f[j]−C)f[k]>>(f[i]−f[k]−C)f[j]
顯然f[i]單調遞增且k>j,那麼假設[1]成立
dp[j]+(f[i

]−f[j]−C

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