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Problem Statement

You are given a string $\mathrm{SS}$ of length $\mathrm{2N2N}$ consisting of lowercase English letters.

There are ${\mathrm{22N22N}}^{}$ ways to color each character in $\mathrm{SS}$ red or blue. Among these ways, how many satisfy the following condition?

• The string obtained by reading the characters painted red from left to right
  is equal to the string obtained by reading the characters painted blue from right to left.

Constraints

• $\mathrm{1\le N\le 181\le N\le 18}$
• The length of $\mathrm{SS}$ is $\mathrm{2N2N}$.
• $\mathrm{SS}$ consists of lowercase English letters.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

$\mathrm{NN}$
$\mathrm{SS}$

Output

Print the number of ways to paint the string that satisfy the condition.

Sample Input 1 Copy

4
cabaacba

Sample Output 1 Copy

4

There are four ways to paint the string, as follows:

• cabaacba
• cabaacba
• cabaacba
• cabaacba

Sample Input 2 Copy

11
mippiisssisssiipsspiim

Sample Output 2 Copy

504

Sample Input 3 Copy

4
abcdefgh

Sample Output 3 Copy

0

Sample Input 4 Copy

18
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Sample Output 4 Copy

9075135300

The answer may not be representable as a $3232$-bit integer.

如果直接暴力是O(2^2n)的復雜度，肯定超時，測試樣例就可以直接測試出超時i，所以要縮短復雜度，這道題很巧妙，可以把字符串分為兩半，這樣復雜度就是O(2^n)的了，為什麽要分為兩部分呢？

先回到題目要求，題目要求就是把字符串分為相等的兩個字符串（當然不是從中部分開），一部分從左往右選取n個，一部分從右往左選取n個，這兩個字符串相等。

對照第一個樣例，可以設這兩個字符串為a（紅色）和ra（藍色），把原字符串從中部分開，左邊包含藍色和紅色，右邊也包含藍色和紅色，a和ra（倒序選取的）是相等的，所以a在左邊的部分等於ra在右邊的部分，a在右邊的部分等於ra在左邊的部分，caba acba，a的左邊部分是"c",ra的右邊部分也是"c",a的右邊部分是"aba",ra的左邊部分也是"aba",其實很好想象，如果存在a和ra相等，那麽一定滿足這個規律，左右兩半的長度都為n，a和ra的長度也為n，如果a在左邊的長度as(<=n)，那麽左邊剩下的（n - as）個字符組成的反向字符串肯定是和a在右邊的剩余部分相等的，首先長度肯定是相等，其次內容，因為a和ra都是按照順序選取並組合的字符串，所以內容肯定也是相等的。因此可以建立一個狀態pair<a,ra>，左右狀態是相同的就是滿足的。

這樣只需要記錄左邊的狀態，狀態相同的算到一起，紅色和藍色的順序是無關的，比如caaa acaa和caaa acaa，左邊狀態是相同的，所以再看右部遇到狀態相同的，只需要加上左邊相同狀態的個數就可以了，遍歷直接按照二進制位計算就可以了，區間[0,1<<n)。

c++代碼：

#include <map>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef pair<string,string> pa;
int main() {
    int n;
    long long ans = 0;
    string s;
    map<pa,int> mp;
    cin>>n>>s;
    for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
        string a = "";
        string b = "";
        for(int j = 0;j < n;j ++) {
            if(i >> j & 1)a += s[j];///二進制位為1 屬於a串
            else b += s[j];///二進制位為0 屬於ra串
        }
        mp[pa(a,b)] ++;///記錄狀態個數
    }
    for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
        string a = "";
        string b = "";
        for(int j = 0;j < n;j ++) {
            if(i >> j & 1)a += s[n * 2 - 1 - j];///二進制位為1 屬於a串
            else b += s[n * 2 - 1 - j];///二進制位為0 屬於ra串
        }
        ans += mp[pa(a,b)];///加上匹配的狀態個數
    }
    cout<<ans;
}

java代碼：

import java.util.*;
class Pair<V,K>{
    V first;
    K second;
    public Pair() {first = null;second = null;}
    public Pair(V f,K s){
        first = f;
        second = s;
    }
    public boolean equals(Object o) {
        if(!(o instanceof Pair))
        {
            return false;
        }
        Pair<V,K> pn = (Pair<V,K>)o;
        return pn.first.equals(first) && pn.second.equals(second);
    }
    public int hashCode() {
        return first.hashCode() + second.hashCode();
    }
}
public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long ans = 0;
        int n = in.nextInt();
        String s = in.next();
        String aa = null,bb = null;
        Map<Pair<String,String>,Integer> map = new HashMap();
        for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
            StringBuilder a = new StringBuilder();
            StringBuilder b = new StringBuilder();
            for(int j = 0;j < n;j ++) {
                if((i >> j) % 2 == 1)a.append(s.charAt(j));
                else b.append(s.charAt(j));
            }
            aa = a.toString();
            bb = b.toString();
            if(map.containsKey(new Pair(aa,bb)))map.put(new Pair(aa,bb),map.get(new Pair(aa,bb)) + 1);
            else map.put(new Pair(aa,bb),1);
        }
        for(int i = 0;i < 1 << n;i ++) {
            StringBuilder a = new StringBuilder();
            StringBuilder b = new StringBuilder();
            for(int j = 0;j < n;j ++) {
                if((i >> j) % 2 == 1)a.append(s.charAt(n * 2 - 1 - j));
                else b.append(s.charAt(n * 2 - 1 - j));
            }
            aa = a.toString();
            bb = b.toString();
            if(map.containsKey(new Pair(aa,bb)))ans += map.get(new Pair(aa,bb));
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

AtCoder Grand Contest #026 C - String Coloring