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Description

小Z最近迷上了矩陣，他定義了一個對於一種特殊矩陣的特征函數G。對於N*N的矩陣A，A的所有元素均為0或1，

當然詢問一個矩陣的G值實在是太簡單了。小Z在給出一個N*N矩陣的同時將給你Q個操作，操作描述如下：

操作1：形如一個整數1和一個整數x，表示將第x行的元素全部“翻轉”。

操作2：形如一個整數2和一個整數x，表示將第x列的元素全部“翻轉”。

操作3：形如一個整數3，表示詢問當前矩陣的特征值G。

“翻轉”的定義為將1變成0，將0變成1。

Input

第1行：兩個正整數N，Q。 N表示矩陣的行數(列數)，Q表示詢問的個數。

接下來N行：一個N*N的矩陣A，0<=A[i][j]<=1。

接下來Q行：Q個操作。

Output

一行若幹個數，中間沒有空格，分別表示每個操作的結果（操作1和操作2不需要輸出）。

Sample Input

3 12
1 1 1
0 1 1
1 0 0
3
2 3
3
2 2
2 2
1 3
3
3
1 2
2 1
1 1
3

Sample Output

01001

Hint

30% N<=100, Q<=10^5

100% N<=1,000, Q <=5*10^5

Solution

對於30%，O(NQ)暴力出奇跡

對於100%，我們考慮這樣一個事實：對於所有的i!=j，會計算四次A，其中通過(i,j)計算A[i][j]*A[j][i],，通過(j,i)計算A[j][i]*A[i][j]。不難發現，無論A[i][j]*A[j][i]等於0還是等於1，相加後取模2恒等於零。

數學證明如下：對於ans=Σ(A[i][j]*A[j][i]+A[i][j]*A[j][i])(i<j) Mod 2=Σ2(A[i][j]*A[j][i]) Mod 2=2*Σ(A[i][j]*A[j][i]) Mod 2=0

所以對於i!=j矩陣元素對答案沒有貢獻。

所以ans=ΣA[i][i] Mod 2。每次修改 ans^=1即可。

Code

#include<cstdio>
#define ci const int

inline void qr(int &x) {
    char ch=getchar(),lst=NULL;
    
 
while(ch>‘9‘||ch<‘0‘) lst=ch,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if (lst==‘-‘) x=-x;
}

char buf[20];
inline void write(int x,const char aft,const bool pt) {
    if(x<0) {putchar(‘-‘);x=-x;}
    int top=0;
    do {
        buf[++top]=x%10+‘0‘;
        x/=10;
    } while(x);
    while(top) putchar(buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

template <typename T>
inline T mmax(const T &a,const T &b) {if(a>b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mmin(const T &a,const T &b) {if(a<b) return a;return b;}
template <typename T>
inline T mabs(const T &a) {if(a<0) return -a;return a;}

template <typename T>
inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}

int n,m,a;
bool ans;

int main() {
    qr(n);qr(m);
    for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) if(i!=j) qr(a);else {a=0;qr(a);if(a) ans^=1;}
    while(m--) {a=0;qr(a);if(a==3) {if(ans) putchar(‘1‘);else putchar(‘0‘);}else {qr(a);ans^=1;}}
    putchar(‘\n‘);
    return 0;
}

Summary

對於計算了兩遍然後答案Mod 2的元素，可以直接pass。

真tm神仙

【貪心】【P2117】小Z的矩陣