Description

一日，崔克茜來到小馬鎮表演魔法。

其中有一個節目是開鎖咒：舞臺上有 \(n(n\le 300)\) 個盒子，每個盒子中有一把鑰匙，對於每個盒子而言有且僅有一把鑰匙能打開它。初始時，崔克茜將會隨機地選擇 \(k\) 個盒子用魔法將它們打開。崔克茜想知道最後所有盒子都被打開的概率，你能幫助她回答這個問題嗎？

Solution

這 gay 題。

把 \(i\) 連向 \(a_i\) ，就成了若幹簡單環。只要最開始打開一個環內任何一個點，就可以打開整個環。

令每個環大小為 \(size[i]\) ，數量為 \(cnt\) ，那麽問題就變成了，\(cnt\) 堆物品，每堆有 \(size[i]\)

然後就可以 dp 了。\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 堆，選了 \(j\) 個。轉移見代碼。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template <class T> void read(T &x) {
    x = 0; bool flag = 0; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == 45) flag = 1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48; if (flag) x = -x;
}

#define N 301
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++ )

int a[N], siz[N];
double f[N][N], c[N][N];
bool vis[N];

int main() {
    int T; read(T);
    rep(i, 0, 300) {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        rep(j, 1, i - 1) c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
    }
    while (T--) {
        int n, K, cnt = 0; read(n), read(K);
        rep(i, 1, n) read(a[i]);
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        rep(i, 1, n) if (!vis[i]) {
            int j = i, sum = 0;
            while (!vis[j]) sum++, vis[j] = 1, j = a[j];
            siz[cnt++] = sum;
        }
        memset(f, 0, sizeof f), f[0][0] = 1;
        rep(i, 0, cnt - 1) rep(j, 0, K) if (fabs(f[i][j]) > 1e-8) rep(k, 1, min(siz[i], K - j))
            f[i + 1][j + k] += f[i][j] * c[siz[i]][k];
        printf("%.5lf\n", f[cnt][K] / c[n][K]);
    }
    return 0;
}
 

hihoCoder - 1075 開鎖魔法III