分支定界法（branch and bound）是一種求解整數規劃問題的最常用算法。這種方法不但可以求解純整數規劃，還可以求解混合整數規劃問題。分支定界法是一種搜索與叠代的方法，選擇不同的分支變量和子問題進行分支。

通常，把全部可行解空間反復地分割為越來越小的子集，稱為分枝；並且對每個子集內的解集計算一個目標下界（對於最小值問題），這稱為定界。在每次分枝後，凡是界限超出已知可行解集目標值的那些子集不再進一步分枝，這樣，許多子集可不予考慮，這稱剪枝。這就是分枝定界法的主要思路。

分支定界法求解整數規劃的一般步驟：

設有最大化的整數規劃問題A ，與它相對應的松弛問題為 B。

（1）先不考慮原問題的整數約束，求解相應的松弛問題。用圖解法或單純形法求得最優解，記為

（2）若求得的最優解 剛好就是整數解，則該整數解就是原整數規劃問題的最優解；否則，對原問題進行分枝尋求整數最優解。

（3）分枝。根據對變量重要性的了解，在最優解中選擇一個不符合整數約束條件的x_j ，其值為b_j ，以[b_j]表示小於b_j 的最大整數。構造兩個約束條件: x≤ [b_j]和 x≥[b_j]+1分別加入原LP問題形成兩個子問題，因為[b_j] 與[b_j]+1之間無整數，故這兩個子集內的整數解必定與原可行解集合整數解一致，這一步稱為分枝。

（4）定界。首先判斷各個子問題是否存在整數解。若存在，找出目標函數值最大對應的整數解，設為Z^*，則A問題的整數解目標函數Z≥Z^*

（5）若存在大於Z^*的子問題則需分枝。第（4）步中若不存在整數解，也需繼續分枝尋找整數解，並從目標函數值最大對應的子問題先分枝。

（6）若所有子問題的目標值都小於等於Z^*，則不需繼續分枝，Z^*所對應的整數解即為最優解。

分支定界法求背包問題：

問題：一個容量為10的集裝箱，有重量分別為4,8,5的貨物，如何才能裝最多：

FIFO算法：

1.首先定義best=0

2. 第一層，4被選擇，此時的best修改成4，加入到隊列中；0<best 計算0節點的最大期望，13>best，加入到隊列中。

3.第二層，8被選擇，12>10，截枝；4=best，加入到隊列中；8>best, 加入到隊列，修改best=8，0節點的最大期望小<best，截枝；

4.第三層，修改best即可。

paython代碼：

import numpy as np

capacity = 10  # 背包的容量是10
goods = [4, 8, 5]  # 貨物重量
best = 0  # 最優重量
expect = sum(goods)  # 期望值

queue = [0]  # 記錄每層的節點
layer = 0  # 記錄層數

while layer < np.size(goods)-1:
    # 取出該層的所有節點，作為下層的父節點
    expect = expect - goods[layer]  # 修改期望值
    parents = np.array(queue)
    nowParents = parents + goods[layer]
    temp_best = np.max(np.where(nowParents > capacity, 0, nowParents))

    # 更新best
    if best < temp_best:
        best = temp_best

    # 選擇候選集， 截枝操作
    nowParents = np.hstack((nowParents, parents))
    temp_queue = []
    for i in nowParents:
        if i + expect > best:
            temp_queue.append(i)
    queue = temp_queue

    layer = layer + 1

# 最後一層，計算最優值
parents = np.array(queue)
nowParents = parents + goods[layer]

nowParents = np.hstack((nowParents, parents))
best = np.max(np.where(nowParents > capacity, 0, nowParents))

print(best)

參考：https://www.cnblogs.com/shixisheng/p/6034779.html

https://www.cnblogs.com/sage-blog/p/3917836.html

https://blog.csdn.net/zack_liu/article/details/78370537

分支界定（ BRANCH-AND-BOUND）