分治法

顧名思義，分治法是將一塊完整的領土分解為若干小的領土，然後一塊塊征服。

• 分，把一個問題的例項劃分為若干個子問題（原問題規模變小）
• 治，遞迴地解決每個子問題
• 把每一個子問題的解整合為一個大問題的解

舉例

歸併排序（Merge sort）

• 將待排序的陣列一分為二
• 遞迴地對每一個子陣列排序
• 合併兩個有序的子陣列為一個有序的陣列（線上性時間n內）

歸併排序可以用a=2,b=2,k=0的主方法求解

二分查詢方法（Binary search）

演算法描述：設某個元素為x，需要在一個已經排序的陣列中找到這個x。

• 分，把x與陣列中間的元素比較
• 治，如果x小於中間元素，取前一半陣列，否則取後一半，每次只在一個數組遞迴
• 合併，無計算量

乘方問題（Powering a number）

演算法描述：給出一個數$a$（實數或者浮點數）和正整數$n$，計算$a^n$。 傳統的Naive演算法直接按照$a^n$的定義，$n$個$a$連乘計算，演算法複雜度為$\Theta(n)$。 利用分治法：

• 分
  • 當$n$為偶數，將$n$分為$n/2$，即$a^n=a^{n/2}a^{n/2}$，兩個$a^{n/2}$只要算一個就可以，所以子規模的規模變為$n/2$。
  • 當$n$為奇數，將$n$分為$n/2$，即$a^n=a^{n-1/2}a^{n-1/2}a$
    ，兩個$a^{n-1/2}$只要算一個就可以，所以子規模的規模變為$n/2$。
• 治，類似二分查詢，只要在一部分遞迴即可
• 合併

斐波那契數（Fibonacci numbers）

傳統的Naive演算法

傳統的Naive演算法按照定義向前逐步遞迴。

樸素平方遞迴式

斐波那契數列特性之一：$\phi^n/\sqrt{5}$取最近的整數就是第n個斐波那契數。即$F(n)=[\phi^n/\sqrt{5}]$，此時斐波那契數列變成了乘方問題。演算法複雜度為$\Theta(lgn)$。

此演算法的問題在於，在計算的儲存中，用浮點數儲存$\varphi$

矩陣乘法（Matrix multiplication）

樸素演算法

樸素演算法複雜度$\Theta(n^3)$

分治法

• 分，矩陣分塊，如圖，分為8塊
• 治，遞迴每一個子矩陣
• 合併，將子矩陣合併

矩陣分為8個子矩陣，規模變為$n/2$，合併的時間為矩陣相加的演算法複雜度為$\Theta(n^2)$，最終的複雜度為$\Theta(n^3)$，並沒有更優。

分治法 Strassen’s idea

分析思路：我們不在乎矩陣加法的演算法複雜度（$n^2$是可以接受的），演算法優化應該從分塊迭代部分考慮（減少乘法的次數）。

利用主方法的Case1情況求解，演算法複雜度為$T(n) = \Theta(n^{lg 7})$，比原來的$\Theta(n^3)$大大優化（特別是在n較大的情況下效果顯著）。

超大規模積體電路（VLSI layout）

假設電路是個二叉樹，現在有個n個葉結點的完全二叉樹，演算法目的在於找到網格佔空間最小的方法。

改變佈局，充分利用空白區域。