Bellman-Ford算法是一種單源最短路算法，允許圖中有負邊權。Bellman-Ford算法的效率相對較低，但是很容易編寫，也很好理解。比較流行的SPFA算法其實就是他的隊列優化。Bellman-Ford算法的流程大體是這樣，先將源點的最短路設置為0，將其他結點的最短路設置為inf，然後進行n-1次叠代，每次檢查每條邊進行松弛操作，這樣就得到了其他結點的最短路。而且可以檢查是否存在負環，若n次叠代仍然可以進行松弛操作，則說明存在負環。不難看出時間復雜度是O(nm)的。怎麽理解Bellman-Ford算法呢？不妨想想一棵最短路徑樹，根是源點，葉子結點是圖中其他結點，葉子結點到根節點的路徑就是其他結點的最短路。雖然這棵樹一開始我們並不知道什麽樣子，但他是客觀存在的。而Bellman-Ford算法就是逐層構造這棵最短路樹，假設處理到了第i層，那麽第i-1層已經處理完畢，那麽掃描每一條邊，看是否可以松弛，一定可以由第i-1層擴展到第i層。如果把源點看做第0層，那麽這棵樹最多有n-1層，因此叠代n-1次一定可以得到這棵最短路樹（如果存在的話），那麽如果第n次仍然可以進行松弛操作，說明不存在最短路（存在負環）。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cctype>
 3 #include<cstring>
 4 const int inf=0x3f3f3f3f;
 5 int n,m,s,d[maxn];
 6 struct edge {
 7     int u,v,w;
 8     edge(int u=0,int v=0,int w=-1):u(u),v(v),w(w) {}
 9 } E[maxm];
10 bool bellman() {
11     memset(d,inf,sizeof(d));
12
 
     d[s]=0;
13     for(int i=1;i<=n;++i) //循環檢查n次，正常情況下最多叠代n-1次，第n次用於判斷是否存在最短路
14         for(int i=1;i<=m;++i) {
15             int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;
16             if(d[v]>d[u]+w) { //松弛操作
17                 if(i==n) return false;
18                 else d[v]=d[u]+w;
19             }
 
20         }
21     return true;
22 }
23 int main() {
24     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
25     int u,v,w;
26     for(int i=1;i<=m;++i) {
27         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
28         E[i]=edge(u,v,w);
29     }
30     if(!bellman()) printf("Wrong!");
31     else for(int i=1;i<=n;++i) {
32         if(i!=1) putchar(‘ ‘);
33         printf("%d",d[i]);
34     }
35     return 0;
36 }

Bellman-Ford算法