[NOI2009]管道取珠
題目描述
管道取珠是小X很喜歡的一款遊戲。在本題中，我們將考慮該遊戲的一個簡單改版。遊戲畫面如圖1所示：
（圖1）
遊戲初始時，左側上下兩個管道分別有一定數量的小球（有深色球和淺色球兩種類型），而右側輸出管道為空。每一次操作，可以從左側選擇一個管道，並將該管道中最右側的球推入右邊輸出管道。
例如：我們首先從下管道中移一個球到輸出管道中，將得到圖2所示的情況。
（圖2）
假設上管道中有n個球, 下管道中有m個球，則整個遊戲過程需要進行n+m次操作，即將所有左側管道中的球移入輸出管道。最終n+m個球在輸出管道中從右到左形成輸出序列。
愛好數學的小X知道，他共有C(n+m，n)種不同的操作方式，而不同的操作方式可能導致相同的輸出序列。舉個例子，對於圖3所示的遊戲情形：
（圖3）
我們用A表示淺色球，B表示深色球。並設移動上管道右側球的操作為U，移動下管道右側球的操作為D，則共有C(2+1，1)=3種不同的操作方式，分別為UUD，UDU，DUU；最終在輸出管道中形成的輸出序列（從右到左）分別為BAB，BBA，BBA。可以發現後兩種操作方式將得到同樣的輸出序列。
假設最終可能產生的不同種類的輸出序列共有K種，其中：第i種輸出序列的產生方式（即不同的操作方式數目）有ai個。聰明的小X早已知道，
\(Σai=C(n+m,n)\)
因此，小X希望計算得到：
\(Σ(ai)^2\)
你能幫助他計算這個值麽？由於這個值可能很大，因此只需要輸出該值對1024523的取模即可（即除以1024523的余數）。
說明：文中C(n+m，n)表示組合數。組合數C(a，b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。
輸入輸出格式
輸入格式：
輸入文件中的第一行為兩個整數n，m，分別表示上下兩個管道中球的數目。
第二行中為一個AB字符串，長度為n，表示上管道中從左到右球的類型。其中：A表示淺色球，B表示深色球。
第三行中為一個AB字符串，長度為m，表示下管道中的情形。
輸出格式：
輸出文件中僅一行為一個整數，即為 除以1024523的余數。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：
2 1
AB
B
輸出樣例#1：
5
說明
【樣例說明】
樣例即為文中（圖3）。共有兩種不同的輸出序列形式，序列BAB有1種產生方式，而序列BBA有2種產生方式，因此答案為5。
【數據規模和約定】
對於30%的數據，滿足：m，n<=12；
對於100%的數據，滿足：m，n<=500。
DP神題啊
咋想出來的？？
一開始看這道題一臉懵逼
這TM讓我咋DP ？？？
隨便寫了發暴力搜索，30分還是很好拿的，狀壓搜一下就好了
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 15 ;
const int N = 16800000 ;
const int mod = 1024523 ;
using namespace std ;
inline int read() {
char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
return x*w ;
}
int n , m ;
char s[M] ;
int v1[M] , v2[M] , p[N] , Ans ;
inline void Dfs(int up , int dw , int sit , int w) {
if(w > n + m) p[sit] ++ ;
if(up <= n) Dfs(up + 1 , dw , v1[up] ? (sit | (1<<(w - 1))) : sit , w + 1) ;
if(dw <= m) Dfs(up , dw + 1 , v2[dw] ? (sit | (1<<(w - 1))) : sit , w + 1) ;
}
int main() {
n = read() ; m = read() ;
scanf("%s",s + 1) ; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) v1[n - i + 1] = s[i] - 'A' ;
scanf("%s",s + 1) ; for(int i = 1 ; i <= m ; i ++) v2[m - i + 1] = s[i] - 'A' ;
Dfs(1 , 1 , 0 , 1) ;
for(int i = 0 ; i < (1<<(n + m)) ; i ++)
Ans = (Ans + 1LL * p[i] * p[i])%mod ;
printf("%d\n",Ans) ;
return 0 ;
}然後考慮正解
此題正解甚火
我們用\(f[i][j][k][l]\)表示兩個人同時取出了\(i+j\)個球
第一個人第1行取了i個球，第二行取了j個球
第二個人第1行取了k個球，第二行取了l個球
證明
因為他要讓我們求出每種狀態出現次數的平方和
這樣模擬兩人取球的時候
設第一個人取球的方案為A
第二個人取球的方案為B
這樣對於每一個A，都有C(n + m , n)種B的方案與之對應
所以這樣求出來正好是每種狀態出現次數的平方和
然後具體思路就完了
但是這樣會爆空間
最後一維顯然可以通過\(i + j - k\)計算出來，可以不要
第一維由於要不就是從i -1遞推，要不就是從i遞推，所以可以滾動掉
這樣空間就可以優化成O(n^2)，時間O(n^2m)
/*
f[i][j][k]表示第1種方案第一行選了i個，第二行選了j個
第二種方案第一行選了k個，第二行選了i+j-k個
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int M = 505 ;
const int mod = 1024523 ;
using namespace std ;
inline int read() {
char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
return x*w ;
}
int n , m ;
int f[2][M][M] , cur ;
char up[M] , dw[M] ;
int main() {
n = read() ; m = read() ;
scanf("%s",up + 1) ; scanf("%s",dw + 1) ;
f[0][0][0] = 1 ;
for(int i = 0 , l ; i <= n ; i ++ , cur ^= 1)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
for(int k = 0 ; k <= n ; k ++) {
if(f[cur][j][k] == 0) continue ;
l = i + j - k ;
if(up[i + 1] == up[k + 1])
f[cur ^ 1][j][k + 1] = (f[cur ^ 1][j][k + 1] + f[cur][j][k])%mod ;
if(up[i + 1] == dw[l + 1])
f[cur ^ 1][j][k] = (f[cur ^ 1][j][k] + f[cur][j][k])%mod ;
if(dw[j + 1] == up[k + 1])
f[cur][j + 1][k + 1] = (f[cur][j + 1][k + 1] + f[cur][j][k])%mod ;
if(dw[j + 1] == dw[l + 1])
f[cur][j + 1][k] = (f[cur][j + 1][k] + f[cur][j][k])%mod ;
f[cur][j][k] = 0 ;
}
printf("%d\n",f[cur][m][n]) ;
return 0 ;
}[NOI2009]管道取珠