題目描述

我們可以用2×1的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用n個21的小矩形無重疊地覆蓋一個2×n的大矩形，總共有多少種方法？

題目分析

（參考牛客網Daniel Lee 分享的）用歸納法歸納如下，

（1）當 n < 1時，顯然不需要用2*1塊覆蓋，按照題目提示應該返回 0。

（2）當 n = 1時，只存在一種情況。

（3）當 n = 2時，存在兩種情況。

（4）當 n = 3時，明顯感覺到如果沒有章法，思維難度比之前提升挺多的。

... 嘗試歸納，本質上 n 覆蓋方法種類都是對 n - 1 時的擴展。

可以明確，n 時必定有 n-1時原來方式與2*1的方塊結合。也就是說, f(n) = f(n-1) + ?(暫時無法判斷)。

（4）如果我們現在歸納 n = 4，應該是什麽形式？

4.1）保持原來n = 3時內容，並擴展一個 2*1 方塊，形式分別為 “| | | |”、“= | |”、“| = |”

4.2）新增加的21 方塊與臨近的21方塊組成 2*2結構，然後可以變形成 “=”。於是 n = 4在原來n = 3基礎上增加了"| | ="、“= =”。

再自己看看這多出來的兩種形式，是不是只比n = 2多了“=”。其實這就是關鍵點所在...因為，只要21或12有相同的兩個時，就會組成2*2形式，於是就又可以變形了。

所以，自然而然可以得出規律： f(n) = f(n-1) + f(n-2)， (n > 2)。

拓展

如果看了這一套理論還存在疑惑。可以嘗試將題目改成13方塊覆蓋3n、14方塊覆蓋4n。

相應的結論應該是：

（1）1 * 3方塊 覆 蓋3*n區域：f(n) = f(n-1) + f(n - 3)， (n > 3)

（2） 1 4 方塊 覆 蓋4n區域：f(n) = f(n-1) + f(n - 4)，(n > 4)

更一般的結論，如果用1m的方塊覆蓋mn區域，遞推關系式為f(n) = f(n-1) + f(n-m)，(n > m)。

代碼

function rectCover(number)
{
    // write code here
    if(number==0)return 0;
    var f=1,g=2;
    while(--number){
        g=f+g;
        f=g-f;
    }
    return f;
}
 

劍指offer-10-矩形覆蓋