Problem

CodeForces-835F

題意：求基環樹刪去環上任意一邊後直徑最小值，直徑定義為所有點對最近距離的最大值

Solution

首先明確刪去環上一點是不會影響樹內直徑的，所以應當先把所有樹的直徑求出來，這是樹形Dp可以解決的，同時建議使用樹形Dp，可以一次性求出接下來要用到的數據

這是直徑在樹上的情況，接下來考慮直徑從樹開始，中途經過環，最後回到樹的情況

我們先把每個點向樹裏頭能走的最遠距離（也就是帶權深度）\(f[x]\)求出來，同時把環排成一行，放到棧裏頭\(st[1]\)~\(st[top]\)，同時把這個環邊權的前綴和求出來，放到數組\(pre\)裏面

考慮刪去邊\((st[d],st[d+1])\)

則最遠點對\((x,y)\)有這兩種情況：

• \(case~1~(1\leq x\leq y\leq d~or~d+1\leq x\leq y\leq n): ans=f[x]-pre[x]+f[y]+pre[y]\)
• \(case~2~(1\leq x\leq d,d+1\leq y\leq n): ans=f[x]+pre[x]+f[y]-pre[y]+pre[n]\)

由於我們需要快速求出刪去每一條邊的最遠點對，所以可以考慮維護前綴後綴最大值：

\(gl_x=\max\{f_i-pre_i\big|i\in[1,x]\}\)

\(gr_x=\max\{f_i-pre_i\big|i\in[x,n]\}\)

\(hl_x=\max\{f_i+pre_i\big|i\in[1,x]\}\)

\(hr_x=\max\{f_i+pre_i\big|i\in[x,n]\}\)

這樣的話，最遠距離\(ans\)可以轉化為\(ans=\max(fl_d+hl_d,fr_{d+1}+hr_{d+1},pre_n-hl_d+gr_{d+1})\)

由於這是個環，記得特殊考慮刪去邊\((top,1)\)

還有一點需要註意，就是加起來的兩個值不能在同一個地方取到，比如說\(fl_2=f_1-pre_1,hl_2=f_1+pre_1\)，則\(fl_2\)和\(hl_2\)加起來是沒有意義的，需要舍去，所以我們對於每個數組還需要維護一個次大值

(⊙v⊙)嗯，你沒看錯，就是八個數組

Code

如果需要解釋的話，\(get\_cir\)是找環的，\(dfs\)是處理樹的情況的，\(work\)是處理環的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rg register

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
    char c11=getchar(),ob=0;x=0;
    while(c11^‘-‘&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11==‘-‘)ob=1,c11=getchar();
    while(isdigit(c11))x=x*10+c11-‘0‘,c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=201000;const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct Edge{int v,nxt,w;}a[N<<1];
int head[N],is[N],st[N],vis[N];
ll f[N],pre[N];
int gl[N],gr[N],hl[N],hr[N],hhl[N],hhr[N],ggl[N],ggr[N];
int n,m,_,top;ll Ans;

void get_cir(int x,int las){
    if(vis[x]){
        int p=top;
        while(st[p]^x)--p;
        for(rg int i=p;i<=top;++i)
            is[st[i-p+1]=st[i]]=1;
        st[0]=-1;top-=p-1;
        return ;
    }vis[st[++top]=x]=1;
    for(int i=head[x];i&&~st[0];i=a[i].nxt)
        if(a[i].v^las)get_cir(a[i].v,x);
    if(~st[0])vis[st[top--]]=0;
}

void dfs(int x,int las){
    ll sec=0ll;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
        if(!is[a[i].v]&&a[i].v^las){
            dfs(a[i].v,x);f[a[i].v]+=a[i].w;
            if(f[a[i].v]>=f[x])sec=f[x],f[x]=f[a[i].v];
            else if(f[a[i].v]>sec)sec=f[a[i].v];
        }
    Ans=max(Ans,f[x]+sec);
}

inline ll G(int x){return x?f[st[x]]-pre[x]:-inf;}
inline ll H(int x){return x?f[st[x]]+pre[x]:-inf;}

void work(){
    st[0]=st[top];
    for(rg int x=1;x<=top;++x){
        for(rg int i=head[st[x-1]];i;i=a[i].nxt)
            if(a[i].v==st[x]){
                pre[x]=pre[x-1]+a[i].w;
                break;
            }
        dfs(st[x],0);
    }
    for(rg int i=1;i<=top;++i){
        gl[i]=gl[i-1],ggl[i]=ggl[i-1];
        hl[i]=hl[i-1],hhl[i]=hhl[i-1];
        if(G(i)>G(gl[i]))ggl[i]=gl[i],gl[i]=i;
        else if(G(i)>G(ggl[i]))ggl[i]=i;
        if(H(i)>H(hl[i]))hhl[i]=hl[i],hl[i]=i;
        else if(H(i)>H(hhl[i]))hhl[i]=i;
    }
    for(rg int i=top;i;--i){
        gr[i]=gr[i+1],ggr[i]=ggr[i+1];
        hr[i]=hr[i+1],hhr[i]=hhr[i+1];
        if(G(i)>G(gr[i]))ggr[i]=gr[i],gr[i]=i;
        else if(G(i)>G(ggr[i]))ggr[i]=i;
        if(H(i)>H(hr[i]))hhr[i]=hr[i],hr[i]=i;
        else if(H(i)>H(hhr[i]))hhr[i]=i;
    }
    ll ans;
    if(hl[top]!=gl[top])ans=G(gl[top])+H(hl[top]);
    else ans=max(G(ggl[top])+H(hl[top]),G(gl[top])+H(hhl[top]));
    for(rg int i=1;i<top;++i){
        ll val=pre[top]+H(hl[i])+G(gr[i+1]);
        ll tmp;
        if(gl[i]^hl[i])tmp=G(gl[i])+H(hl[i]);
        else tmp=max(G(ggl[i])+H(hl[i]),G(gl[i])+H(hhl[i]));
        val=max(val,tmp);++i;
        if(gr[i]^hr[i])tmp=G(gr[i])+H(hr[i]);
        else tmp=max(G(ggr[i])+H(hr[i]),G(gr[i])+H(hhr[i]));
        val=max(val,tmp);--i;
        ans=min(ans,val);
    }cout<<max(ans,Ans)<<endl;
}

void init();void work();
int main(){init();work();return 0;}

void init(){
    read(n);int u,v,w;
    for(rg int i=1;i<=n;++i){
        read(u),read(v),read(w);
        a[++_].v=v,a[_].w=w,a[_].nxt=head[u],head[u]=_;
        a[++_].v=u,a[_].w=w,a[_].nxt=head[v],head[v]=_;
    }get_cir(1,1);
}

題解-CodeForces835F Roads in the Kingdom