單調棧：

• 定義：

棧內的元素，按照某種方式排列下（單調遞增或者單調遞減），如果新入棧的元素破壞了單調性，就彈出棧內元素，直至滿足單調性。

• 作用：單調棧可以找到從左/右遍歷第一個比它大/小的元素的位置。時間復雜度為O(N)；

• 實現方式：（以維護單調遞增棧為例）

　　進棧操作：每次進入棧時，先檢驗棧頂元素和進棧元素的大小，如果小於，那麽直接入棧；否則，大於等於進棧元素的出棧，直到棧空或者棧頂元素小於入棧元素。

例如：3 8 2 3 1

• 初始時刻棧為空，3入棧。.....................................棧內元素（3）；
• 8要進棧，8比3大，直接入棧。..............................棧內元素（3，8）；
• 2要進棧，2比8小，全部彈出，2入棧。.................棧內元素（2）；
• 3要進棧，3比2大，直接入棧。..............................棧內元素（2，3）；
• 1要進棧，1比3小，全部彈出，1入棧。.................棧內元素（1）；

根據此時求出從左往右第一個比它小的元素。

3 8 2 3 1

0 3 0 2 0

代碼：

stack<int>s;
for
 
(int i=1;i<=n;i++)
{
     while(s.size()&&s.top()>=a[i])
     {
           s.pop();
     }
     if(s.empty())
          l[i]=0;
     else
          l[i]=s.top();
     s.push(a[i]);
}

stack<int>s;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
     while(s.size()&&s.top()>=a[i])
     {
           s.pop();
     }
     
 
if(s.empty())
          l[i]=0;
     else
          l[i]=s.top();
     s.push(a[i]);
}

例題：poj 2559

題意：給出一個柱形統計圖，它的每個項目的寬是1，高度和具體問題有關，現在編輯求出這個柱形圖中的最大面積的長方形(n<=le5)

例如：2，1，4，5，1，3，3

面積為8。

分析：

• 我們首先想到的是逐個考慮每個項目，求出每個項目被包含的長方形。
• 求出每個被包含的長方形，那麽左右兩邊的高度不能比項目本身的高度低，就是向左右兩邊延展。
• 那麽用單調棧，時間復雜度是2N：

1. 求出兩邊比項目第一個小的位置。為什麽不是取兩邊比項目第一個大的位置呢？因為如果是大的位置，它們之間可能包含比項目本身要小值，就不能達到連續。
2. 分別對項目進行左右延伸。

單調隊列：

• 定義：

隊列中元素之間的關系具有單調性，而且，隊首和隊尾都可以進行出隊操作，只有隊尾可以進行入隊操作。

• 作用：

對於維護好的單調隊列，單調隊列是有序的，那麽取出最大值（最小值）的復雜度是O(1）；

可以拿來優化DP；

• 操作：

1. 插入：若新元素從隊尾插入後會破壞單調性，則刪除隊尾元素，直至插入後不再破壞單調性為止，在將其插入單調隊列。這和單調棧的插入一樣。
2. 獲取最優值：訪問首尾元素。
3. 定長連續子區間的最值問題

例題：

題意：給定一個長度為n的數列，求長度為k的定長連續子區間{a_1，a_2，a_3，a_{4............},a_k-1，a_k}...............中每個區間的最大值和最小值。

分析：

• 當我們看到這個第一個想法應該是枚舉起始元素a_x，然後再求a_x到a_k-1+x的最大（小）值，那麽區間的復雜度為O(nk)；
• a_l，a_l+1，a_{l+2....................}a_r-1，a_r，a_r+1，以最大值為例：

1. 當我們求區間（l，r）最大值時：=max{a_l，max(a_l+1，a_{l+2..........}a_r-1，a_r)}；
2. 當我們求區間（l+1，r+1）最大值時：=max{a_r+1，max(a_l+1，a_{l+2..........}a_r-1，a_r)}；
3. 那麽再求區間（l+1，r+1）時，我們完全沒必要在重新掃描一次。只有當最值在a_l才需要重新掃描。
4. 那麽如果在區間（l，r）求最大值時，l<i<j<r，如果a_i<a_j，那麽在向右移動的過程中a_i就失去了效果，這就與單調隊列彈出所不符合單調的元素性質一樣。
5. 當我們將區間從（l，r）移動到（l+1，r+1）時，我們將a_r+1插入單調隊列中，若隊首元素不在（l，r）區間中，那麽說明最大值不是（l，r）區間的數，清除隊首元素（出隊）；

例如：4 1 3 2 7 5 6 n=7，k=3；求長度為k的連續子序列的最大值。

• 初始隊列為空，4入隊.....................................................隊列元素（4）；
• 進隊元素為1，1比4小，直接入隊...................................隊列元素（4，1）；
• 進隊元素為3，3比1大，彈出1，3入隊...........................隊列元素（4，3）；那麽最大值為4；
• 進隊元素為2，2比3小，直接入隊...................................隊列元素（4，3，2）；因為4不在a₂~a₄元素中，所有要先彈出4元素，此時最大值為3，隊列元素（3，2）；
• 進隊元素為7，7比4大，全部彈出...................................隊列元素（7）；此時最大值為7；
• 進隊元素為5，5比7小，直接入隊...................................隊列元素（7，5）；此時最大值為7；
• 進隊元素為6，6比5大，彈出5，6入隊...........................隊列元素（7，6）；此時最大值為7；

單調棧以及單調隊列