田忌賽馬
「JoyOI1048」田忌賽馬
題目描述
中國古代的歷史故事“田忌賽馬”是為大家所熟知的。話說齊王和田忌又要賽馬了，他們各派出N匹馬，每場比賽，輸的一方將要給贏的一方200兩黃金，如果是平局的話，雙方都不必拿出錢。現在每匹馬的速度值是固定而且已知的，而齊王出馬也不管田忌的出馬順序。請問田忌該如何安排自己的馬去對抗齊王的馬，才能贏取最多的錢？
輸入
第一行為一個正整數n (n < = 1000) ，表示雙方馬的數量。 第二行有N個整數表示田忌的馬的速度。 第三行的N個整數為齊王的馬的速度。
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僅有一行，為田忌賽馬可能贏得的最多的錢，結果有可能為負。
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200 9018題庫的田忌賽馬，如果田忌輸了，輸出0，且似乎n<=3000。JoyOI隨意 本題原來是用貪心的思路，用田忌速度從小到大的每一匹馬去戰勝或打平齊王的最強的馬 像這樣| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std; |
是有反例的，因為看不符合歷史上賽馬的典故，用這種方法下等馬變成和下等馬賽平了，顯然不妥。
但是用最弱的馬故意輸最強的馬當然也是不可取的。
網上有種貪心做法是這樣
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1、開始也是先排序，可以使用sort快排； 2、然後將田忌最大的馬與國王進行比較； 3、如果田忌最大的馬大於國王，那麽就勝場++； 4、如果田忌最大的馬小於國王，那麽就一定會輸，所以用田忌最小的馬輸給國王最大的馬； 5、如果田忌最大的馬等於國王，那麽就比較最小的馬； 5。1、如果田忌最小的馬大於國王，那麽勝場++； 5。2、如果田忌最小的馬小於國王，那麽就輸給國王； 5。3、如果田忌最小的馬等於國王，就用田忌最小的馬對國王最大的馬，如果國王最大的馬大，那麽財產要減200； 還有動規的
1.思路
不妨用貪心思想來分析一下問題。因為田忌掌握有比賽的“主動權”，他總是根據齊王所出的馬來分配自己的馬，所以這裏不妨認為齊王的出馬順序是按馬的速度從高到低出的。由這樣的假設，我們歸納出如下貪心策略：
如果田忌剩下的馬中最強的馬都贏不了齊王剩下的最強的馬，那麽應該用最差的一匹馬去輸給齊王最強的馬。
如果田忌剩下的馬中最強的馬可以贏齊王剩下的最強的馬，那就用這匹馬去贏齊王剩下的最強的馬。
如果田忌剩下的馬中最強的馬和齊王剩下的最強的馬打平的話，可以選擇打平或者用最差的馬輸掉比賽。
2.反例
光是打平的話，如果齊王馬的速度分別是1 2 3，田忌馬的速度也是1 2 3，每次選擇打平的話，田忌一分錢也得不到，而如果選擇先用速度為1的馬輸給速度為3的馬的話，可以贏得200兩黃金。
光是輸掉的話，如果齊王馬的速度分別是1 3，田忌馬的速度分別是2 3，田忌一勝一負，仍然一分錢也拿不到。而如果先用速度為3的馬去打平的話，可以贏得200兩黃金。
3.解決方案
通過上述的三種貪心策略，我們可以發現，如果齊王的馬是按速度排序之後，從高到低被派出的話，田忌一定是將他馬按速度排序之後，從兩頭取馬去和齊王的馬比賽。有了這個信息之後，動態規劃的模型也就出來了！
4.DP方程
設f[i,j]表示齊王按從強到弱的順序出馬和田忌進行了i場比賽之後，從“頭”取了j匹較強的馬，從“尾”取了i-j匹較弱的馬，所能夠得到的最大盈利。
狀態轉移方程如下：
F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}
其中g[i,j]表示田忌的馬和齊王的馬分別按照由強到弱的順序排序之後，田忌的第i匹馬和齊王的第j匹馬賽跑所能取得的盈利，勝為1，輸為－1，平為0。
結果用最大的乘以200即可。
5.解釋
為什麽F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}可以呢？
因為你無論怎麽樣都是從前或者從後面取馬，而F[I,j]=max{f[i-1,j]+c[n-(i-j)+1,i],f[i-1,j-1]+c[j,i]}這個方程把所有可能的貪心情況都表示出來了。
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