原題地址:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1902

題目簡述

給定一個n個點m條邊的無向帶權圖，每次詢問2點u,v的聯通情況，不聯通則輸出-1。
如果聯通，不妨將一條聯通u,v的路徑上的最小權值記為w，則該次詢問輸出所有可能的w中的最大值。
共有q次詢問。

思路

對於任意兩點u&v，我們需要找出能使得w最大的一條最優路徑。
因此需要生成一個新圖，使得原圖中聯通任意兩點之間只存在一條能使得w最大的最優路徑。
因此這是一棵樹……
又因為要使w最大，應盡量選擇邊權大的邊作為路徑…… 然後就突然發覺：這不就是Kruskal算法的過程嗎？只不過最小生成樹優先選擇邊權小的邊，此時優先選擇邊權大的。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1000000005
struct Node {
    int u,v,w;//兩點u&v以及邊權
    bool operator < (const Node &b) const {
        return w<b.w;
    }
};
vector <Node> e[50005];//e[u]儲存節點u相連的邊集。
priority_queue <Node> Q;//邊權越大的優先級越高
int fa[50005];//Kruskal的禦用並查集，fa[u]代表u點所處集合
bool vis[50005];//是否已經被dfs過程訪問過
int fas[50005][21],minw[50005][21],deep[50005];
//fas[u][j]代表u點在所處樹中的第2^j級父親編號
//minw[u][j]代表u點在所處樹中至第2^j級父親的路徑上最小邊權
//deep[u]代表u點在所處樹中深度
int find(int x)//查找x所在集合編號
{
    if (x==fa[x]) return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);//路徑壓縮
}
void uni(int a,int b) //合並a,b所在集合
{
    fa[find(a)]=find(b);
}

void add(int u,int v,int w) //添加新圖邊
{
    Node one;
    one.u=u;
    one.v=v;
    one.w=w;
    e[u].push_back(one);
    uni(u,v);
}
void dfs(int u,int f,int k)//dfs，u代表當前點，f為當前點父親，k為深度
{
    vis[u]=1;
    deep[u]=k;
    for (int i=0;i<e[u].size();i++) {
        if (e[u][i].v==f) continue;
        else {
            dfs(e[u][i].v,u,k+1);
            fas[e[u][i].v][0]=u;
            minw[e[u][i].v][0]=e[u][i].w;
        }
    }
}
int n,m,q;
void Kruskal()
{
    int linked=0;
    while(!Q.empty()&&linked<n-1) {//邊數m可能少於n-1，因此需要註意Q是否為空
        Node now=Q.top();
        Q.pop();
        int a=now.u,b=now.v;
        if (find(a)==find(b)) continue;
        else {
            linked++;
            add(a,b,now.w);
            add(b,a,now.w);
        }
    }
}
int lca(int x,int y)//求x，y的lca
{
    if (find(x)!=find(y)) return -1;//不在一個樹裏
    int ans=inf;
    if (deep[y] >deep[x]) swap(x,y);//較深的標記為x
    for(int i=20;i>=0;i--)//令x跳到與y相同高度
        if(deep[fas[x][i]]>=deep[y]){
            ans=min(ans,minw[x][i]);
            x=fas[x][i];
        }
    if (x==y) return ans;
    for(int i=20; i>=0; i--)//讓x,y一起跳到lca節點下方
        if(fas[x][i]!=fas[y][i]){
            ans=min(ans,min(minw[x][i],minw[y][i]));
            x=fas[x][i]; 
            y=fas[y][i];
        }
    ans=min(ans,min(minw[x][0],minw[y][0]));//統計最小邊權
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;//並查集預處理，各個點都處於自己所代表的集合
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        Node one;
        one.u=x;
        one.v=y;
        one.w=z;
        Q.push(one);//加入Kruskal禦用隊列Q
    }
    Kruskal();//最大生成樹
    for (int i=1;i<=n;i++) {//倍增數組初始化&dfs
        if (!vis[i]) {
            dfs(i,0,1);
            fas[i][0]=i;
            minw[i][0]=inf;
        }
    }
    for (int i=1;i<=20;i++) {//倍增預處理
        for (int j=1;j<=n;j++) {
            fas[j][i]=fas[fas[j][i-1]][i-1];
            minw[j][i]=min(minw[j][i-1],minw[fas[j][i-1]][i-1]);
        }
    }
    scanf("%d",&q);
    for (int i=1;i<=q;i++) {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return 0;
}
 

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