x = cos x 的解析形式
阿新 • • 發佈：2018-09-30
更新 倒數 解析 alt 同學 最新 樂趣 感謝 接下來
本文假設讀者熱愛數學，並且曾經掌握過高中數學知識。
\ \ \ \ \ \ \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2\frac{x+π}{2}}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)
\frac{1}{\tan^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}-1 所以
\begin{align}\frac{1}{\sin^2 x}-1<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2 x}\end{align} 現在結合前面推導的關系(**):
\begin{align}1= \frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})\end{align} 我們可以得到如下不等關系
\begin{align} 1-\frac{2}{4^4}*2^3 & <{\frac{2}{4^4} (\frac{1}{(π/32)^2} + \frac{1}{(3π/32)^2}+\frac{1}{(5π/32)^2} +\dots + \frac{1}{(15π/32)^2})} < 1\\ 1-\frac{2}{4^4}*2^3 & < {\frac{2}{4^4}* 4^5 (\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1\\ 1-\frac{1}{2^4}& < {\ 8\,(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1 \end{align}
我很早就一直想寫一篇文章，跟大家聊一聊：
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ =\ \frac{π^2}{6} 但一直沒有機會，這次放暑假正好有空，於是手就癢了，寫下此文，供大家娛(yǎ)樂(shǎng)。
本文假設讀者熱愛數學，並且曾經掌握過高中數學知識。
1. 首先我們要復習一下三角函數。
對於任意的角 x， 我們有 {\sin^2 x}+\cos^2x=1，這跟勾股定理是一回事。
接下來是一個重要的公式，建議讀者通過畫圖理解
\sin(2x) = 2 \sin x \cos x
然後通過畫出三角函數圖像的方式，我們還可以輕易驗證如下兩條公式
\begin{align*}\cos x & = \sin (x+\frac{π}{2}) \\ \sin x & =\sin(π-x) \end{align*}
2. 現在我們可以開始證明了。
(該證明取自美國數學月刊2002年2月第109期 pp. 196-200 作者系Josef Hofbauer。)
2.1
由於 \sin(2x) = 2 \sin x \cos x，所以
\sin x= 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) 取倒數，平方，得 \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4}\frac{1}{\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}\ \ \ \ \ \ \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2\frac{x+π}{2}}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)
根據定義可知
\sin(π/2) =\, \sin90°=1 然後平方，取倒數，並反復利用(*)式，我們有 \begin{align*} 1 & = \frac{1}{\sin^2(π/2)} \\ & =\frac{1}{4} (\frac{1}{\sin^2(π/4)} + \frac{1}{\sin^2(3π/4)}) \\ & =\frac{1}{4^2} (\frac{1}{\sin^2(π/8)} + \frac{1}{\sin^2(3π/8)}+\frac{1}{\sin^2(5π/8)} + \frac{1}{\sin^2(7π/8)})\\ & = \dots \end{align*} 可以這樣一直做下去。
現在，利用恒等式 \sin(π-x)=\sin x，可得
\begin{align*} 1 & =\frac{2}{4^2} (\frac{1}{\sin^2(π/8)} + \frac{1}{\sin^2(3π/8)}) \\ & =\frac{2}{4^3} (\frac{1}{\sin^2(π/16)} + \frac{1}{\sin^2(3π/16)}+\frac{1}{\sin^2(5π/16)} + \frac{1}{\sin^2(7π/16)}) \\ & ={\frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})}\\ & = \dots \end{align*} 我們將這個關系稱為“(**)”式
2.2
有讀者可能要問，為什麽要像剛才那樣做，其實原因馬上就很清楚了，目的只有一個：讓所有 \sin()裏的值都是銳角。
因為對於銳角x，我們有 \sin x < x < \tan x
取倒數，平方，得
\frac{1}{\tan^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}-1 所以
\begin{align}\frac{1}{\sin^2 x}-1<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2 x}\end{align} 現在結合前面推導的關系(**):
\begin{align}1= \frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})\end{align} 我們可以得到如下不等關系
\begin{align} 1-\frac{2}{4^4}*2^3 & <{\frac{2}{4^4} (\frac{1}{(π/32)^2} + \frac{1}{(3π/32)^2}+\frac{1}{(5π/32)^2} +\dots + \frac{1}{(15π/32)^2})} < 1\\ 1-\frac{2}{4^4}*2^3 & < {\frac{2}{4^4}* 4^5 (\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1\\ 1-\frac{1}{2^4}& < {\ 8\,(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1 \end{align}
（各位讀者請註意，剛才這三個不等關系(3)(4)(5)可能需要花時間仔細讀懂。尤其是(3)，是全文中最難理解的一步，希望讀者能耐心地讀懂：如何可以從之前的公式(1)(2)推導出(3)？）
2.3
通過觀察，我們可以發現，之前在(**)中，我們只用到
1 = {\frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})} 如果在之前，多利用(*)幾次，使得(**)中 \sin 的項數由 8=2^3 項 增長為 2^n
則有
1-\frac{1}{2^{n+1}} < {8(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\cdots + \frac{1}{((2^{n+1}-1)π)^2})}<1 當n很大時，\frac{1}{2^{n+1}}可以忽略不計，所以我們有 {\,8\,(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2}+\frac{1}{(7π)^2} +\cdots)}= 1 即 \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\cdots =\frac{π^2}{8}
2.4
現在我們離結論只有一步之遙,
令
\zeta(2) = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ 那麽 \frac{\zeta(2)}{4} = \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2} +\frac{1}{6^2} +\frac{1}{8^2} +\frac{1}{10^2} +\cdots 兩式相減，就能得到 \zeta(2)-\frac{\zeta(2)}{4} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\cdots =\frac{\pi^2}{8}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以 3\zeta(2) /4 = π^2/8，求得 \zeta(2) = π^2/6，即我們要證的結論：
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ =\ \frac{π^2}{6}
證明完畢！
怎麽樣，好玩吧，數學永遠是這樣，用最巧妙的邏輯鏈條構造最美麗的證明。
只要有一點點好奇心，和足夠的耐心，人人都可以享受數學的樂趣。
祝大家暑假愉快。
賈博名
2014年6月20日 於 美國俄亥俄州哥倫布市
(最新一次更新於2016年6月19日，再次感謝孫豪同學對本文初稿的認真閱讀，並指出了多處筆誤，現已更正。)
x = cos x 的解析形式