今天剛學的東西，簡單記一下

多項式系數

對於多項式$(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n$的展開式中$x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k^{d_k}$這一項(滿足$d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_k = N$)的系數，記做

${\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}} = \frac{n!}{d_1!d_2!d_3! \dots d_k!}$

組合意義

將$n$個可分辨的球放到$m$個不同的盒子$T_1, T_2, \dots T_m$中，在$T_i$中放$d_i$個，不記盒內的次序，且滿足$\sum_{i = 1}^m d_i= N$的方案數為$${\binom{n}{d_1,d_2,d_3, \dots, d_k}}$$

一道題目

給你一棵n個節點的有根樹。你要給每個節點分配一個$1 \sim n$的數字，使得每個節點分配的數字不同，並且每個節點分配的數字都是它子樹內最小的。求方案數。

設$f[i]$表示在以$i$為根的子樹內放了$1 \sim siz[i]$的方案數

轉移的時候，根節點肯定放了$1$號元素

那麽

$f[i] = \binom{siz[i] - 1} {e siz[u_1], siz[u_2], \dots siz[u_k]} \prod f_{u_i}$

直接把$1$號節點的dp值展開之後得到

$ans = n! \prod \frac{1}{siz[i]}$

多項式系數學習筆記