簡單的介紹一下吧，斯特靈數其實有很多好玩的性質和擴充套件的。

定義

設\(S(n, m)\)表示把\(n\)個不同的球放到\(m\)個相同的盒子裡，且不允許盒子為空的方案數

稱\(S\)為第二類斯特靈數

計算方法

遞推：

考慮第\(n\)個球放到了哪裡

第一種情況是自己佔一個盒子，方案為\(S(n - 1, m - 1)\)

第二種情況是和之前的元素共佔\(m\)個盒子，方案為\(S(n - 1, m) * m\)，最後的係數是考慮放在不同位置。

這裡我們認為{1}{2 4}{3}與{1}{2}{3 4}是不同的方案

而{1}{2 4}{3}與{1}{3}{2 4}是相同的方案

綜上

\(S(n, m) = S(n - 1, m - 1) + S(n - 1, m) * m\)

邊界條件\(S(0, 0) = 1\)

容斥

\(S(n, m) = \frac{1}{m!} \sum_{k = 0}^m (-1)^k C(m, k) (m - k)^n\)

也比較好理解，我們去列舉一個空盒子的個數

答案 = 無視空盒子放的方案 - 至少有一個盒子為空的方案 + 至少有兩個盒子為空的方案 + \(\dots\)

顯然，這個式子可以用FFT優化，因此我們可以在\(O(nlogn)\)的複雜度內得到一行的斯特靈數

性質

1. \[n^k=\sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C_{n}^i\]

2. \(S(n, 2) = 2^{n - 1} - 1\)