第一類

在此僅討論無符號第一類Stiring數。

定義

n個有標號的球組成m個圓排列的方案數，即第一類斯特林數，記做 $S_1(n,m)$

遞推式

考慮最後一個元素，可以新組成一個圓排列，也可以插入之前 $n-1$

$S_1(n,m)=S_1(n-1,m-1)+(n-1)S_1(n-1,m)$

更快速的求法

第n行的生成函式為
$\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=x^{\overline n}$

其中的第m項係數即為 $S_1(n,m)$

為啥呢？我們不妨從遞推式進行思考，第n-1行到第n行，如果列數不增加，則要乘以當前的行數，如果列數增加1，就以1倍加入。

那麼我們用分治FFT就可以在 $O(n\log^2 n)$的複雜度求出某一行的值了。

然而其實還有更優秀的方法——倍增。

設 $f(x)=x^{\overline n},g(x)=(x+n)^{\overline n}=f(x+n)$，則有 $f(x)g(x)=x^{\overline{2n}}$

那麼考慮倍增，我們希望能通過 $f(x)$，快速的求出 $g(x)$

不妨設
$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$
則
$g(x)=\sum_{i=0}^n a_i (x+n)^i=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^i\binom i j n^{i-j}x^j$
改變求和順序
$g(x)=\sum_{i=0}^n\biggl(\sum_{j=i}^n \binom j i n^{j-i} a_j\biggr) x^i$

把組合數一拆，卷積即可

時間複雜度為 $T(n)=2T(\frac n 2)+O(n\log n)=O(n\log n)$，常數略大，但相比分治FFT有較大優勢。

第二類

定義

n個有標號球放入m個無標號箱子，且每個箱子不為空的方案數，記做 $S_2(n,m)$，亦記做 $n\brace m$。

公式

同樣的，我們思考一下最後一個球新做一個箱子還是放入之前的箱子中去，不難得到：

$S_2(n,m)=S_2(n-1,m-1)+mS_2(n-1,m)$

我們也可以用容斥來做

至少有 $i$個箱子為空的方案數
$\binom m i (m-i)^n$
容斥一下，再把箱子改為無標號的即得
$ S 2 ( n , m ) = 1 m ! ∑ i 相關推薦 Stiring數學習筆記 第一類 在此僅討論無符號第一類Stiring數。 定義 n個有標號的球組成m個圓排列的方案數，即第一類斯特林數，記做 S 復制相關參數學習筆記--master上的參數 過濾規則 範圍 ria ted conn -m cksum date 之間 特別聲明： 所有的過濾規則不建議在主庫上設置。 server_id 是一個整數，範圍：1 至 power(2,32)-1 之間。 推薦使用端口號+ip最後一位的方式。 唯一區別ID，同一個集 Python函數參數學習筆記 列表 依次 多任務 HA 拷貝 都是 符號 pan student 在學習python函數參數的時候，發現python函數有多種參數形式，感覺有必要記錄一下，弄懂它們之間的區別和使用，主要參考了廖雪峰的python基礎教程：https://www.liaoxuefeng.c Python3 函數學習筆記 不是函數 方式 重新 作用域 面向對象 不能 所有 子程序 局部變量 編程的三種方式： 　　1>面向對象：class定義　　2>面向過程：def 定義　　3>函數式編程： def 定義 1.函數是指將一組語句的集合通過一個名字(函數名)封裝起來，要想執行這 多項式系數學習筆記 數學 數字 根節點 簡單 pro 學習 表示 bin block 今天剛學的東西，簡單記一下 多項式系數 對於多項式$(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k) ^n$的展開式中$x_1^{d_1}x_2^{d_2}x_3^{d_3} \dots x_k printk()函數學習筆記 spin lock flag ssa 啟動 模塊 fun glob .net https://www.cnblogs.com/sky-heaven/p/6742062.html韋東山老師的printk講解：https://blog.csdn.net/W1107101310/ jmeter自定義函數學習筆記 xsd lns -o 方式 -i ins encoding new 源碼學習 源碼學習 https://github.com/apache/jmeter/blob/trunk/src/functions/org/apache/jmeter/functions/CSVRead B數學習筆記 基本概念 所謂m階B樹,即m路平衡搜尋數(m>=2) 內部節點各有不超過m-1個關鍵碼,不超過m個分支 內部節點的分支數也不能太少,根節點的分支>=2,其餘節點>=m/2 一般也用([m/2],m)樹來稱呼具體分支數的B樹 B樹的高度由外 數論函數學習筆記之線性篩 inline pri lse lin ini arp 學習筆記 學習 mod 其實主要是想發一下線性篩的板子，包括線性篩質數，歐拉函數和莫比烏斯函數。 當然也會有一點簡單的證明。 線性篩質數就不說啦。 然後加一個篩歐拉函數。 當\(i\)為質數的時候，自然\(\varp async函數學習筆記 goole 多個 例子 就會 處理 結果 ble 表達 resolv 含義 async函數是什麽？一句話，它就是Generator函數的語法糖。 const fs = require(‘fs‘) const readFile = function(fileName){ 第一類&第二類斯特林數學習筆記 第一類斯特林數 p p p個不同人圍著 第二類斯特靈數學習筆記 簡單的介紹一下吧，斯特靈數其實有很多好玩的性質和擴充套件的。 定義 設\(S(n, m)\)表示把\(n\)個不同的球放到\(m\)個相同的盒子裡，且不允許盒子為空的方案數 稱\(S\)為第二類斯特靈數 計算方法 遞推： 考慮第\(n\)個球放到了哪裡 第一種情況是自己佔一個盒子，方案為\(S(n - 1, javaScript 立即執行函數學習筆記 immediate 遞歸 dia sco image 學習 mas 謝謝 初學者 立即執行函數: 即執行函數(Immediate Functions)，立即執行函數模式是一種語法，可以讓你的函數在定義後立即被執行 立即執行函數(immediate function)術語 L0、L1、L2範數學習筆記 1 L0範數 L0範數表示向量中非0元素的個數，即希望資料集中的大部分元素都是0（即希望資料集是稀疏的）， 所以可以用於ML中做稀疏編碼，特徵選擇，即通過L0範數來尋找最少最優的稀疏特徵項。 但不幸的是，L0範數的最優化問題是一個NP hard問題，而且理論上有證明 React生命周期函數 學習筆記 struct 生命 發生 obj object component 卸載 update bject （一）必須記住的生命周期函數： 　加載的時候： componentWillMount , componentDidMount (dom操作) 更新的時候: c 【Rollo的Python之路】高階函數,遞歸函數 學習筆記 使用遞歸 包含 n) ron 結束 學習筆記 標準 python style 高階函數： 變量可以指向函數，函數可以做為了參數被另一個函數調用，這種帶函數為參數的函數就是高階函數。 1.0 函數本身也可以賦值給變量，即：變量可以指向函數。 2.0 函數名也可以做 歐拉函數學習筆記 溢出 當前 計算公式 指數 case 簡單 += 證明 edi 原作者：liuzibujian 原文：https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324 本文稍作補充，精細排版。 前言 歐拉函數聽起來很高 SAS學習筆記之函數應用 不能 oracle 理解 資料 oracl 函數應用 特殊 put acl 今天在做數據需求的時候遇到一些問題，因為不能夠在數據庫裏面做，僅僅好在SAS裏面實現。這就遇到了一些麻煩，須要使用一些函數實現部分功能，如查找字段中某個特殊字符出現的次數，查找某個字符的位置等， OpenCV2學習筆記（十五）：利用Cmake高速查找OpenCV函數源代碼 one 生成 img log 分享 lan 學習筆記 全部 modules 在使用OpenCV時，在對一個函數的調用不是非常了解的情況下，通常希望查到該函數的官方聲明。而假設想進一步研究OpenCV的函數，則必須深入到源碼。在VS中我們能夠選中想要查 cocos2d-x學習筆記（c++與lua交互回調函數的處理） 回調函數 tolua++ cocos2dx lua 本文假設讀者已經會使用tolua++進行C++與lua之間的通訊1、在頭文件中定義註冊回調函數，定義在MyClass類中void register(unsigned short cmdID, LUA_FUNCTION func);//LUA_ $