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[OI學習筆記]排列組合&二項式定理

重新 都是 ima 方便 變形 ron n! str img

這幾天都在準備初賽,所以沒有時間來更新博客了,等緩過這幾天來吧。。。心好累。。。技術分享圖片

9月份以來好多筆記都沒發,慢慢來吧。


  ♂排列與組合

    ♂緒論:加法原理、乘法原理

      1)加法原理:要完成某件任務,分為n種方法,則方案總數為n

      2)乘法原理:要完成某件任務,分為n個步驟,完成第一個步驟有m1種方法,完成第二個步驟有m2種方法,……,完成第n個步驟有mn種方法,則完成整個任務的方案總數為m1*m2*……*mn

    ♂排列數

      1)在m個元素中取n個進行排列(理解排列,允許相同n個元素而順序不同的幾個排列同時存在)的方案總數,記作技術分享圖片

(不知道TinyMCE編輯器怎麽插入上下標,只能貼圖了)

      2)要在m個元素中選出n個進行排列的方案:首先在m個中選出第一個元素,有m中選法;然後在(m-1)個元素中選第二個,有(m-1)中選法;……;以此類推,最後在(m-n+1)個元素中選出第n個,有(m-n+1)種方法。這些過程的關系是一步接一步的,顯然符合乘法原理。

      3)所以:技術分享圖片

       可以變形為:技術分享圖片

即:技術分享圖片

      4)當m=n時,即在m個元素中選m個時,技術分享圖片叫做全排列,A(n,n)=n! ;  

    ♂組合數

      1)不考慮順序,即不管元素的順序如何,都是同一個組合

      2)在m個元素中選n個的組合數,寫作技術分享圖片或C(m,n)


    為了方便表達,下面把排列與組合數統一寫成A(m,n)&C(m,n)


      3)C(m,n)怎麽求呢?可以用A(m,n)來重新思考:

        求A(m,n)的原理可以理解為:先從m個中取n個,不考慮順序(即C(m,n)),然後再從這n個中進行排列(即A(m,n))。

        所以:A(m,n)=C(m,n)*A(n,n)

        變形一下:C(m,n)=A(m,n)/A(n,n) //偷懶,就不寫成分數形式了

        即:A(m,n)=m!/(m-n)!n!

      4)組合數與楊輝三角之間的關♂系♂

        C1 0=1,C1 1=1,C2 0=1;C2 1=2,……

        通過觀察可以發現,組合數似乎與楊輝三角有一腿技術分享圖片

        技術分享圖片

        那豈不是可以用楊輝三角來快速求組合數了?

        技術分享圖片

    ♂二項式定理

      1)二項式定理為:

        (a+b)n =∑ nr=0 C(n,r)an-r br (n和r分別是上下標,這裏打不出來)

      2)即(a+b)n ,an-r br 項的系數為C(n,r)

      3)由於C(n,r)=C(n,n-r),所以an-r br 和ar bn-r 項的系數相同

      4)也和楊輝三角有關:

        (a+b)1 =1a+1b----------------------------------------1 1

        (a+b)2 =1a2+2ab+1b2 ---------------------------------1 2 1

        (a+b)1 =1a3+3a2b+3ab2+1b3 ---------------------------1 3 3 1

         ……            ……

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