[OI學習筆記]排列組合&二項式定理
這幾天都在準備初賽,所以沒有時間來更新博客了,等緩過這幾天來吧。。。心好累。。。
9月份以來好多筆記都沒發,慢慢來吧。
♂排列與組合
♂緒論:加法原理、乘法原理
1)加法原理:要完成某件任務,分為n種方法,則方案總數為n
2)乘法原理:要完成某件任務,分為n個步驟,完成第一個步驟有m1種方法,完成第二個步驟有m2種方法,……,完成第n個步驟有mn種方法,則完成整個任務的方案總數為m1*m2*……*mn
♂排列數
1)在m個元素中取n個進行排列(理解排列,允許相同n個元素而順序不同的幾個排列同時存在)的方案總數,記作
2)要在m個元素中選出n個進行排列的方案:首先在m個中選出第一個元素,有m中選法;然後在(m-1)個元素中選第二個,有(m-1)中選法;……;以此類推,最後在(m-n+1)個元素中選出第n個,有(m-n+1)種方法。這些過程的關系是一步接一步的,顯然符合乘法原理。
3)所以:
可以變形為:
即:
4)當m=n時,即在m個元素中選m個時,叫做全排列,A(n,n)=n! ;
♂組合數
1)不考慮順序,即不管元素的順序如何,都是同一個組合
2)在m個元素中選n個的組合數,寫作或C(m,n)
為了方便表達,下面把排列與組合數統一寫成A(m,n)&C(m,n)
3)C(m,n)怎麽求呢?可以用A(m,n)來重新思考:
求A(m,n)的原理可以理解為:先從m個中取n個,不考慮順序(即C(m,n)),然後再從這n個中進行排列(即A(m,n))。
所以:A(m,n)=C(m,n)*A(n,n)
變形一下:C(m,n)=A(m,n)/A(n,n) //偷懶,就不寫成分數形式了
即:A(m,n)=m!/(m-n)!n!
4)組合數與楊輝三角之間的關♂系♂
C1 0=1,C1 1=1,C2 0=1;C2 1=2,……
通過觀察可以發現,組合數似乎與楊輝三角有一腿
那豈不是可以用楊輝三角來快速求組合數了?
♂二項式定理
1)二項式定理為:
(a+b)n =∑ nr=0 C(n,r)an-r br (n和r分別是上下標,這裏打不出來)
2)即(a+b)n ,an-r br 項的系數為C(n,r)
3)由於C(n,r)=C(n,n-r),所以an-r br 和ar bn-r 項的系數相同
4)也和楊輝三角有關:
(a+b)1 =1a+1b----------------------------------------1 1
(a+b)2 =1a2+2ab+1b2 ---------------------------------1 2 1
(a+b)1 =1a3+3a2b+3ab2+1b3 ---------------------------1 3 3 1
…… ……
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