做這題之前先看道高考真題（好像是真題，我記不清了）

例：已知一個由n個0和n個1排列而成的數列，要求對於任意k∈N*且k∈[1,2n]，在前k個數中1的個數不少於0的個數，求當n=4時這樣的數列的數量。

解：14個（策略：暴力枚舉，時間復雜度O(2^n)）

所以本題其實就是對高考真題的一個一般化推廣，首先擴大了n的範圍，而且0的個數和1的個數可能不等了，所以這道題並不簡單

我們通過打表可以發現：當n=m時，答案滿足卡特蘭數列，即

當n！=m呢？

再稍微打個表，答案就是

（我不會告訴你我沒打出來這個表的）

接下來就好說了，預處理階乘逆元然後計算組合數即可

但是為什麽是這個公式呢？

我們稍微轉化一下：將問題放到坐標系上，假設1代表向右上走，0代表向右下走，那麽問題轉化為了從（0,0）點到（n+m，n-m）點且不經過第四象限的方案數

那麽如果完全統計方案數，答案即為

但是一定有一些是不合法的啊

那麽如果是不合法的方案，這些不合法的路徑一定會經過直線y=-1，那麽我們將經過這條直線之前的所有點關於這條直線對稱，會發現起點變成了（0，-2）！

於是問題轉化為了從（0，-2）走到（n+m，n-m）的方案數

設向上走x步，向下走y步

則x+y=n+m，x-y=n-m+2

∴x=n+1,y=m-1

∴方案數即為

兩者做差即可

解釋如圖。

當然，這題還有一些遞推式，比如f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]，若i<j f[i][j]=0

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include 
 
<cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
#define mode 20100403
using namespace std;
ll inv[2000005];
ll mul[2000005];
ll n,m;
void init()
{
    inv[1]=inv[0]=1;
    for(int i=2;i<=n+m;i++)
    {
        inv[i]
 
=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
    }
    mul[0]=mul[1]=1;
    for(int i=2;i<=n+m;i++)
    {
        inv[i]*=inv[i-1];
        inv[i]%=mode;
        mul[i]=mul[i-1]*i%mode;
    }
}
ll C(ll x,ll y)
{
    if(y>x)
    {
        return 0;
    }
    return mul[x]*inv[y]%mode*inv[x-y]%mode;
}
int main()
{
//    freopen("task.in","r",stdin);
//    freopen("task.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    init();
    printf("%lld\n",((C(n+m,n)-C(n+m,n+1))%mode+mode)%mode);
    return 0;
}

bzoj 1856