本題在洛谷上的鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3951#sub

這是去年復賽第一題，小凱的疑惑？我的疑惑？我的疑惑就是為什麽我去年初賽掛了？！後天就是今年的初賽了，希望能過。。。（哭）

關於這道題的各種吐槽不再多說，有興趣可以自行去看看其他地方。這裏正兒八經解決一下小凱的疑惑。

實際上這是道小學奧數題，答案是ab-a-b，怎麽想出來的，我是不知道，但可以驗證這是對的。而且我看到有個地方稱這是賽瓦維斯特定理（已知a，b為大於1的正整數，gcd(a,b)=1，則使不定方程ax+by=c無負整數解的最大整數c=a*b-a-b）。

接下來進入證明環節。首先要證明ab-a-b不可以被pa+qb所表示，我們利用反證法，假設ab-a-b=pa+qb。

則有ab=(p+1)a+(q+1)b，因為gcd(a,b)=1，那麽a|(p+1)，b|(q+1)，不妨設p+1=k₁a，q+1=k₂b，可以得出k₁+k₂=1。而k₁a=p+1>=1，所以k₁>=1，同理k₂>=1，推出矛盾，所以假設不成立，ab-a-b不可以表示成pa+qb。

接下來要證明對於任意c>=ab-a-b，c都可以表示pa+qb的形式。

顯然，有c>=ab-a-b+1，c+a+b>=ab+1，不妨設c+a+b=ka+m，k>=b，1<=m<=a-1，若m等於a其實就相當於k=b+1。

暫時轉化一下視角，我們來考慮ax+by=m這個不定方程，因為gcd(a,b)=1，所以一定有解。根據二元一次不定方程的性質，若存在一個特解x0，那麽x₀

所以一定存在b-1<=x₁<=-1使得方程成立，因為x₁的取值是連續的b-1個。因為ax₁<0，b>0，m>0，所以y₁>=1。

取x=k+x1-1，y=y1-1，可知x>=0，y>=0。此時ax+by=kx+ax₁-a+y₁b-b，因為ax₁+by₁=m，那麽ax+by=kx+m-a-b，我們發現他剛好等於c。因此得出結論對於任意c>=ab-a-b，一定可以表示成ax+by的形式（當然x>0且y>0）。

這道題難在理解答案而不在正確通過。

 1 #include <iostream>
 2
 
 
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long ll;
 6 
 7 int main() {
 8     ll a, b;
 9     cin >> a >> b;
10     cout << a * b - a - b;
11     return 0;
12 }

【NOIP2017】小凱的疑惑