E. Side Transmutations

http://codeforces.com/contest/1065/problem/E

題意：

　　長度為n的字符串，字符集為A，問多少不同的字符串。兩個字符串相同：

1. 在給定的數組b中，找到一個數b[i]，設k=b[i]
2. 將1~k，與n-k+1~n 的字符串翻轉，然後交換位置。新形成的字符串與原來的字符串相等。

分析：

　　考慮只有一個b[i]的影響，那麽對於一個字符串，分成了三段，前面k個，後面k個，中間的。中間的部分就是$A^{n-k-k}$，再看兩邊形成多少種字符串，使得這些都是不同的。

　　左邊k個和右邊k個的所有的字符串，兩兩組合，加上中間的部分，構成一個字符串。然後這個字符串與操作後的字符串是相等的，於是它們應該只計算一次，所以除以2就行。但是有一些字符串操作後，與原來一樣，這些也不會形成等價的字符串，所以不需除以2，算一次就行了。

　　左邊k個的總方案數$A^{k}$，兩邊兩兩組合$A^{k+k}$。操作後與原來一樣的字符串$A^{k}$，表示左邊k個隨便選，右邊的k個為左邊的倒置。那麽第一部分就是$\frac{A^{k+k}-A^{k}}{2}$，再加上第二部分$A^{k}$，合並後$\frac{A^{k} \times (A^{k} + 1)}{2}$。

　　然後考慮增加一個b的影響，那麽中間的部分，不可以在按上一個的選了，為$A^{n-k-k}$，所以先不考慮中間的，只考慮兩邊的。因為b[i]下一個回事兩邊增加b[i+1]-b[i]個字符。那麽這b[i]在按照上面的方式組合，就會有形成一些新的字符串。那麽乘上這些即可，最後再乘上中間的部分。就是$A^{n-b[m]-b[m]}$

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 #include<cctype>
 7 #include<set>
 8 #include<vector>
 9 #include<queue>
10 #include<map>
11 #define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
12
 
 #define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 
16 inline int read() {
17     int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1;
18     for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f;
19 }
20 
21 const int N = 200005;
22 const LL mod = 998244353;
23 
24 LL ksm(LL a, LL b) {
25     LL res = 1;
26     while (b) {
27         if (b & 1) res = res * a % mod;
28         a = a * a % mod;
29         b >>= 1;
30     }
31     return res;
32 }
33 
34 LL b[N];
35 
36 int main() {
37     int n = read(), m = read();
38     LL A = read();
39     for (int i=1; i<=m; ++i) b[i] = read();
40     LL ans = 1, inv2 = ksm(2, mod - 2);
41     for (int i=1; i<=m; ++i) {
42         LL L = b[i] - b[i - 1];
43         LL tmp = ksm(A, L);
44         ans = ans * tmp % mod * (tmp + 1) % mod;
45         ans = ans * inv2 % mod;
46     }
47     ans = ans * ksm(A, n - b[m] - b[m]) % mod;
48     cout << ans;
49     return 0;
50 }

CF 1065 E. Side Transmutations