題意

給定一個字符集的大小 $|A|$，可以從中選取 $n$個字元(可重複)組成一個字串，這裡規定，字串 $S$

1. 選取有效的 $b_i$，令 $k$
   = b i k = b_i 。
2. 取字串 $S$的前 $k$個字元組成一個字串 $S_{pre}$。
3. 取字串 $S$的後 $k$個字元組成一個字串 $S_{suf}$
4. 將 $S_{pre},S_{suf}$各自翻轉並交換組成新的字串T。

輸入規定 $b_0<b_i<b_{i+1} < \dots < b_k$，且 $b_i$可以任選多次。問能組成多少個不同的字串。

題解

對於給定的 $0 < b_i < b_{i+1} < \dots < b_k$，對於這些操作，現把問題轉換一下，實際上就是對 $[b_{k-1},b_{k}),[b_{k-2},b_{k-1})\dots，[0,b_1)$進行操作，每個區間之間都互不相關，可以看成獨立的n個事件組成一個大事件，即對應的乘法原理，n個事件的方案相乘。設每個區間滿足條件的字串個數為 $cnt_i$。
$cnt_i$為長度為 $i$的字串的對數。分為兩種情況考慮，將左邊的串稱為L，右邊稱為R，設 $S = |A|^i$

1. 翻轉後 R = L ，那麼只有S種
2. 翻轉後 R != L，那麼有 $\complement_{S}^{2}$種

總和為 $\frac{|A|^{2i}+|A|^i}{2}$
對於每個區間都有 $cnt_{len}$個字串可選 。那麼總的方案數為
$cnt_{b_1}\prod_{i=2}^{k}cnt_{b_i-b_{i-1}} *|A|^{n-2b_k}$

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod =  998244353;
const int maxn = 2e5+5;
ll pow_mod(ll x, ll n) {
	ll res = 1;
	while(n) {
		if(n&1) res = res*x%mod;
		x = x*x%mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ll n,m,A,inv;
ll b[maxn];
ll get(ll i) { // cnt_i
	return (pow_mod(A,2*i)+pow_mod(A,i))%mod*inv%mod;
}

int main() {
	inv = pow_mod(2,mod-2);
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &A);
	ll mx;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%lld", &b[i]);
		mx = b[i];
	}
	for(int i = m; i >= 1; --i)
		b[i] = b[i]-b[i-1];
	ll AL = pow_mod(A,n-2*mx);
	ll ans = 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		ans = (ans*get(b[i]))%mod;
	}
	ans = ans*AL%mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}