引理

已知：k|a,k|b

求證：k|(m*a+n*b)

證明：∵ k|a

　　∴ 有p*k=a

　　同理可得q*k=b

　　∴ p*k*m=m*a,q*k*n=n*b

　　∴ k(p*m+q*n)=m*a+n*b

　　∴ k|(m*a+n*b)

條件：a,b均為正整數

求證：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

證明：設m=gcd(a,b),n=gcd(b,a%b).

　　則必有p能使p*b+a%b=a;

　　∵ n=gcd(b,a%b)

　　∴ n|(p*b+1*a%b)且n|b

　　∴ n|a 即 n為a,b公約數

　　∵ m=gcd(a,b)

　　∴ m>=n

　　設q,使a-q*b=a%b

　　∵ m=gcd(a,b)

　　∴ m|(a-q*b)且m|b

　　∴ m|(a%b)

　　∴ m為b,a%b公約數

　　∵ n=gcd(b,a%b)

　　∴ n>=m

　　∴ n=m 命題得證

最後，gcd->偉大光榮正確的黨！

最大公約數GCD學習筆記