https://blog.csdn.net/yu412346928/article/details/42966001

已知兩點經緯度計算球面距離的公式，一搜一大堆，形式如下：

可是至於這個公式為什麼是這樣的，今天推導了一下，詳細推導過程如下。首先畫個圖（圖1），要不然空間想象能力差的話容易犯糊塗。首先對圖1做個大致的說明，紅色的半圓表示赤道，藍色的圓弧表示本初子午線（也就是經度為0的子午線）。球最上方是北極點，點A和點B分別為要計算的兩個點，座標分別為A（jA,wA）和B（jB，wB）。

圖1 示意圖

再開始推導之前，我們需要在圖中繪製一些輔助線，便於後面的描述和推導。如圖1所示，A（jA,wA），B（jB,wB）兩點分別為球面上的兩點，座標為經緯度表示。延A、B兩點分別做垂直於赤道平面的垂線交赤道面為C、D兩點。連線C、D兩點，然後過A做CD的平行線交BD與點E。至此，所有的輔助線繪製完畢。假設地球為一個規則的圓球，半徑為R（其實地球是一個橢球體，赤道的半徑比極地的半徑稍微大一點點）。

第一步：確定已知條件，

第二步：在直角和直角中有：

第三步：在平面ABCD中，有：

第四步：在直角中，使用勾股定理可以得到AB的直線長度。如下：

第五步：這裡需要引入一個公式（5），就是大名鼎鼎的餘弦定理，假設三角形的三個角為A,B,C，則有：

把上面的公式（1）、（2）、（3）、（5）帶入（4）中，然後整理可以得到：

最後，通過整理得到AB之間的直線距離為：

第六步：我們已經知道AB的直線距離，那麼AB的弧長距離可以先通過計算中對應的圓心角

把式（6）帶入式（7），化簡得到：

最終，我們得到了一個關於圓心角的餘弦值的公式：

第七步：知道圓心角，計算弧長的公式很簡單，使用半徑乘以圓心角（弧度單位）即可：

所以最後我們就得到了球面上AB的距離應該是：

最後使用公式（10）就可以編寫程式碼來計算球面上任意兩點間的最短距離了。這裡使用的是一個規則的球來代替的橢球的，肯定會有誤差的，一般都用這個公式來進行計算。程式碼就不寫了，也就一兩句話就出來了。最後需要注意的就是，需要把經緯度都化成弧度單位。

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……………………………………以下內容更新於2013年1月30日…………………………………………

昨天使用立體幾何的知識推導了一下球面兩點的距離公式，發現比較複雜，今天想到一個簡單的方法，使用空間直角座標系來推導，很方便。首先我們需要建立一個空間座標系：在赤道平面內，X軸由球心O指向本初子午線，Y軸在赤道平面內垂直於X軸，Z軸垂直於赤道平面朝向北極。還是假設AB兩點的經緯度座標為：A（jA，wA），B（jB，wB）。由該座標系的定義以及經緯度的定義可以把上面的AB兩點的座標轉換為該座標系中的座標如下：

由兩點距離公式可以得到AB的直線距離為：

對於球面上的任意一個點（X，Y，Z），都有：

把上面的公式整理就可以得到（下面用到了一個積化和差公式）：

好了，大功告成，是不是比用立體幾何要簡單的多。接下來就是用上面的弦長和弧長的關係來計算AB的弧長就可以了。