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首先可以記憶的一些巨集觀印象是：梯度（grad），旋度(rot)都是向量，散度(div)是一個值或者表示式。

令u=u(x,y,z)u=u(x,y,z)
則：
梯度：grad(u)=(u′(x),u′(y),u′(z))grad(u)=(u′(x),u′(y),u′(z)) ==>即偏導數構成的向量，可以代入具體值。grad操作的物件是函式。

散度:div(p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z))=p′x+q′y+r′zdiv(p(x,y,z),q(x,y,z),r(x,y,z))=px′+qy′+rz′==>散度操作的是向量，且對向量的三個分量係數求偏導數之和。

旋度:rot(r→)=∣∣∣∣∣iδδxPjδδyQkδδzR∣∣∣∣∣rot(r→)=|ijkδδxδδyδδzPQR|
其中r→=(P,Q,R),P,Q,R是x,y,z的函式。r→=(P,Q,R),P,Q,R是x,y,z的函式。

以上。

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梯度 gradient 設體系中某處的物理引數(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該引數為w+dw，則稱為該物理引數的梯度，也即該物理引數的變化率。如果引數為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。 在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐氏空間Rn到R的函式的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。 在單變數的實值函式的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函式，也就是線的斜率。 梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被成為梯度。 在二元函式的情形，設函式z=f(x,y)在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對於每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 這向量稱為函式z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y) 類似的對三元函式也可以定義一個：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 記為grad[f(x,y,z)]。  

散度 氣象學中指： 散度指流體運動時單位體積的改變率。簡單地說，流體在運動中集中的區域為輻合，運動中發散的區域為輻散。用以表示的量稱為散度，值為負時為輻合，此時有利於天氣系統的的發展和增強，為正時表示輻散，有利於天氣系統的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。 微積分學→多元微積分→多元函式積分中： 設某量場由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 給出，其中 P、Q、R 具有一階連續偏導數，∑ 是場內一有向曲面，n 是 ∑ 在點 (x,y,z) 處的單位法向量，則 ∫∫A·ndS 叫做向量場 A 通過曲面 ∑ 向著指定側的通量，而 δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量場 A 的散度，記作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的 δ 為偏微分（partial derivative）符號。

  旋度 表示曲線、流體等旋轉程度的量。 定義 設有向量場 <math>\mathbf(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf+Q(x,y,z)\mathbf+R(x,y,z)\mathbf</math>， 在座標上的投影分別為 <math>\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}</math>，<math>\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}</math>，<math>\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}</math> 的向量叫做向量場A的旋度，記作 rot A，即 <math>\mathbf\ \mathbf=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathbf+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathbf+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathbf</math> 行列式記號 旋度rot A的表示式可以用含列式記號形式表示： <math>\mathbf\ \mathbf=\begin \mathbf & \mathbf & \mathbf \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end</math> --------------------- 本文來自 zd0303 的CSDN 部落格 ，全文地址請點選：https://blog.csdn.net/zd0303/article/details/6821523?utm_source=copy