Kullback–Leibler divergence(相對熵，KL距離，KL散度)
阿新 • • 發佈：2019-02-05
1 前言
注意兩個名詞的區別：
相對熵：Kullback–Leibler divergence
交叉熵：cross entropy
KL距離的幾個用途：
① 衡量兩個概率分佈的差異。
② 衡量利用概率分佈Q 擬合概率分佈P 時的能量損耗，也就是說擬合以後丟失了多少的資訊，可以參考前面曲線擬合的思想。
③ 對①的另一種說法，就是衡量兩個概率分佈的相似度，在運動捕捉裡面可以衡量未新增標籤的運動與已新增標籤的運動，進而進行運動的分類。
百度百科解釋的為什麼KL距離不準確，不滿足距離的概念：
①KL散度不對稱，即P到Q的距離，不等於Q到P的距離
②KL散度不滿足三角距離公式，兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
2. 相對熵數學定義
KL散度的值始終大於0，並且當且僅當兩分佈相同時，KL散度等於0.
從另一個角度也就可以發現，當P(x)和Q(x) 的相似度越高，KL距離越小。
有一個例項，可以參考：http://www.cnblogs.com/finallyliuyu/archive/2010/03/12/1684015.html
3. 交叉熵和相對熵
作者：do Cre連結：https://www.zhihu.com/question/41252833/answer/108777563
來源：知乎
熵的本質是夏農資訊量
的期望。現有關於樣本集的2個概率分佈p和q，其中p為真實分佈，q非真實分佈。按照真實分佈p來衡量識別一個樣本的所需要的編碼長度的期望(即平均編碼長度)為：
如果使用錯誤分佈q來表示來自真實分佈p的平均編碼長度，則應該是：
因為用q來編碼的樣本來自分佈p，所以期望H(p,q)中概率是p(i)。H(p,q)我們稱之為“交叉熵”。
比如含有4個字母(A,B,C,D)的資料集中，真實分佈p=(1/2, 1/2, 0, 0)，即A和B出現的概率均為1/2，C和D出現的概率都為0。計算H(p)為1，即只需要1位編碼即可識別A和B。如果使用分佈Q=(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)來編碼則得到H(p,q)=2，即需要2位編碼來識別A和B(當然還有C和D，儘管C和D並不會出現，因為真實分佈p中C和D出現的概率為0，這裡就欽定概率為0的事件不會發生啦)。
可以看到上例中根據非真實分佈q得到的平均編碼長度H(p,q)大於根據真實分佈p得到的平均編碼長度H(p)。事實上，根據
其又被稱為KL散度(Kullback–Leibler divergence，KLD)Kullback–Leibler divergence。它表示2個函式或概率分佈的差異性：差異越大則相對熵越大，差異越小則相對熵越小，特別地，若2者相同則熵為0。注意，KL散度的非對稱性。
比如TD-IDF演算法就可以理解為相對熵的應用：詞頻在整個語料庫的分佈與詞頻在具體文件中分佈之間的差異性。
交叉熵可在神經網路(機器學習)中作為損失函式，p表示真實標記的分佈，q則為訓練後的模型的預測標記分佈，交叉熵損失函式可以衡量p與q的相似性。交叉熵作為損失函式還有一個好處是使用sigmoid函式在梯度下降時能避免均方誤差損失函式學習速率降低的問題，因為學習速率可以被輸出的誤差所控制。
PS：通常“相對熵”也可稱為“交叉熵”，雖然公式上看相對熵=交叉熵-資訊熵，但由於真實分佈p是固定的，D(p||q)由H(p,q)決定。當然也有特殊情況，彼時2者須區別對待。
稍微說一下中間那個例子，如果真正去計算的話，會發現H(p)=log2，而H(p,q)=log4，然後由於編碼位數必須為整數，所以是向上取整，即得到原作者的答案。
4. 交叉熵損失函式
看到交叉熵，想到機器學習中剛好有“交叉熵損失函式”這個東東，好像是針對二分類的情況，可以將前面的交叉熵公式改成二分類的情況: 交叉熵中用q擬合p，其中的q相當於預測值，p相當於正確的標籤
如果想好看點，那麼一般的寫法就是，把y當做正確標籤，o當做網路輸出，那麼
這樣就跟我們經常看到的交叉熵損失函式一模一樣了。