弦圖與區間圖

參考資料：陳丹琦《弦圖與區間圖》

1. 預備知識

   圖定義為\(G=(V,E)\)，其中\(V\)為點集，\(E\)為邊集。

   子圖定義為對於原圖\(G=(V,E)\)的子圖\(G'=(V',E'),V'\in V,E'\in E\)。

   對於原圖\(G=(V,E)\)，誘導子圖\(G'=(V',E'),V'\subseteq V,E'=\{(u,v)|u,v\in V,(u,v)\in E\}\)

   團定義為原圖的一個子圖為完全圖稱為團。極大團定義為一個團不為另一個團的子集。最大團為點數最多的團。\(\omega(G)\)表示團數。

   最小染色為用最小的顏色給點染色使相鄰的點的顏色不同。\(\chi(G)\)

   表示色數。

   最大獨立集為最大的一個點的子集使任何兩個點不相鄰。\(\alpha(G)\)為最大獨立集的點數。

   最小團覆蓋為用最少的團覆蓋所有的點，\(\kappa(G)\)為用的最少的團數。

   \(\omega(G)\le \chi(G)\)，團數\(\le\)色數；\(\alpha(G)\le\kappa(G)\)，最大獨立集數\(\le\)最小團覆蓋數。

2. 弦圖

   弦定義為一個環中連線不相鄰的點的邊。

   一個圖被稱為弦圖當圖中所有長度大於3的環至少有一個弦。

   弦圖的每一個誘導子圖都是弦圖。

3. 弦圖的判定

   單純點：設\(N(v)\)表示與點\(v\)相鄰的點集。一個點被稱為單純點當\(\{v\}+N(v)\)

   的誘導子圖為一個團。

   任何一個弦圖都至少有一個單純點，不是完全圖的弦圖至少有兩個不相鄰的單純點。

   完美消除序列：一個點的序列\(v_1,v_2,\dots,v_n\)滿足\(v_i\)在\(\{v_i,v_{i+1},\dots,v_n\}\)的誘導子圖中為一個單純點。一個圖為弦圖當且僅當存在一個完美消除序列，證明可詳見論文。