RMQ-ST
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度為n的數列A，回答若干次詢問RMQ(i,j)，返回數列A中下標在區間[i,j]中的最小/大值。
本文介紹一種比較高效的ST演算法解決這個問題。ST（Sparse Table）演算法可以在O(nlogn)時間內進行預處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。
1）預處理
設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。（DP的狀態）
例如：
A數列為：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
並且我們可以容易的看出F[i,0]就等於A[i]。（DP的初始值）
我們把F[i，j]平均分成兩段（因為F[i，j]一定是偶數個數字），從 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1為一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1為一段(長度都為2 ^ (j - 1))。於是我們得到了狀態轉移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。
2)查詢
假如我們需要查詢的區間為(i,j)，那麼我們需要找到覆蓋這個閉區間(左邊界取i，右邊界取j)的最小冪（可以重複，比如查詢1，2，3，4，5，我們可以查詢1234和2345）。
因為這個區間的長度為j - i + 1,所以我們可以取k=log2( j - i + 1)，則有：RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
舉例說明，要求區間[1，5]的最大值，k = log2（5 - 1 + 1）= 2，即求max(F[1, 2]，F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2]，F[2, 2])；
-
void ST(int n) {
-
for (
int i =
1; i <= n; i++)
-
dp[i][
0] = A[i];
-
for (
int j =
1; (
1 << j) <= n; j++) {
-
for (
int i =
1; i + (
1 << j) -
1 <= n; i++) {
-
dp[i][j] = max(dp[i][j -
1], dp[i + (
1 << (j -
1))][j -
1]);
-
}
-
}
-
}
-
int RMQ(int l, int r) {
-
int k =
0;
-
while ((
1 << (k +
1)) <= r - l +
1) k++;
-
return max(dp[l][k], dp[r - (
1 << k) +
1][k]);
-
}
RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢，是指這樣一個問題：對於長度為n的數列A，回答若干次詢問RMQ(i,j)，返回數列A中下標在區間[i,j]中的最小/大值。
本文介紹一種比較高效的ST演算法解決這個問題。ST（Sparse Table）演算法可以在O(nlogn)時間內進行預處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。
1）預處理
設A[i]是要求區間最值的數列，F[i, j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。（DP的狀態）
例如：
A數列為：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1，0]表示第1個數起，長度為2^0=1的最大值，其實就是3這個數。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
並且我們可以容易的看出F[i,0]就等於A[i]。（DP的初始值）
我們把F[i，j]平均分成兩段（因為F[i，j]一定是偶數個數字），從 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1為一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1為一段(長度都為2 ^ (j - 1))。於是我們得到了狀態轉移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。
2)查詢
假如我們需要查詢的區間為(i,j)，那麼我們需要找到覆蓋這個閉區間(左邊界取i，右邊界取j)的最小冪（可以重複，比如查詢1，2，3，4，5，我們可以查詢1234和2345）。
因為這個區間的長度為j - i + 1,所以我們可以取k=log2( j - i + 1)，則有：RMQ(i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
舉例說明，要求區間[1，5]的最大值，k = log2（5 - 1 + 1）= 2，即求max(F[1, 2]，F[5 - 2 ^ 2 + 1, 2])=max(F[1, 2]，F[2, 2])；
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void ST(int n) {
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for (
int i =
1; i <= n; i++)
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dp[i][
0] = A[i];
-
for (
int j =
1; (
1 << j) <= n; j++) {
-
for (
int i =
1; i + (
1 << j) -
1 <= n; i++) {
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dp[i][j] = max(dp[i][j -
1], dp[i + (
1 << (j -
1))][j -
1]);
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}
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}
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}
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int RMQ(int l, int r) {
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int k =
0;
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while ((
1 << (k +
1)) <= r - l +
1) k++;
-
return max(dp[l][k], dp[r - (
1 << k) +
1][k]);
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}