博弈論的演算法總結
開頭先囉嗦一句：想學好博弈，必然要花費很多的時間，深入學習，不要存在一知半解，應該是一看到題目，就想到博弈的型別。
以及，想不斷重複不斷重複，做大量各大oj網站的題目，最後吃透它。
博弈：
博弈論又被稱為對策論（Game Theory），既是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。
博弈，具體的例子就是下棋，雙方都考慮最有利於自已的步驟，但是最終必有一方輸，一方贏。
博弈的策略：參與者在行動之前所準備好的一套完整的行動方案，就是想好下完這步棋，對方會如何下，
以及接下來該如何下，最終得出結果。
常見的博弈有以下：
1.博弈：合作博弈和非合作博弈
合作博弈：指參與者能夠達成一種具有約束力的協議，在協議範圍內選擇有利於雙方的策略
非合作博弈：指參與者無法達成這樣一種協議
2.博弈：靜態博弈和動態博弈
靜態博弈：指在博弈中，參與者同時選擇，或雖非同時選擇，但是在邏輯時間
上是同時的。（期末老師評分與同學給老師評分）
動態博弈：指在博弈中，參與者的行動有先後順序，且後行動者能夠觀察
到先行動者的行動。（下棋）
3.博弈：完全資訊博弈與不完全資訊博弈
完全資訊博弈：指在博弈中，每個參與者對其他參與者的型別，策略空間及損益函式都有準確的資訊。（賣家與買家）
不完全資訊博弈:總有一些資訊不是所有參與者都知道的
4.博弈：零和博弈與非零和博弈
零和博弈：指博弈前的損益總和與博弈後的損益總和相等
非零和博弈：指博弈後的損益大於（小於）博弈前的損益總和（正和或負和 ）
下面我主要講一些關於比賽中用到的博弈型別：
首先你要理解必勝狀態和必敗狀態：
對下先手來說，
一個狀態是必敗狀態當且僅當它的所有後繼都是必敗狀態。
一個狀態是必勝狀態當且僅當它至少有一個後繼是必敗狀態。
就是說，博弈者，一旦捉住了勝利的把柄，必然最後勝利。
博弈中常常用到的：
兩個數，不用中間變數實現交換。
a b;
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
巴什博弈：
百度百科：
巴什博弈：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物， 規定每次至少取一個，最多取m個。最後取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多隻能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現瞭如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。對於巴什博弈，那麼我們規定，如果最後取光者輸，那麼又會如何呢？（n-1）%（m+1）==0則後手勝利
威佐夫博弈：
一定要去百度百科上面，先理解透意思。
下面是一些威佐夫博弈的總結：
威佐夫博弈（Wythoff's game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取至少一個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。 這種情況下是頗為複雜的。我們用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。 前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇異局勢的序號， 第一個奇異局勢k=0。 可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出現過的最小自然數,而 b[k]= a[k] + k。設當前局勢為(a,b）； a <= b
①a==b：同時從兩堆取走a個石子，轉化為(0,0)
②a==a[k]&&b>b[k]：從第二堆取走b−b[k]個石子，轉化為(a,b[k])
③a==a[k]&&b<b[k]：同時從兩堆取走a−a[b−a]個石子，轉化為(a[b−a],b−a+a[b−a])
④a>a[k]&&b==b[k]：從第一堆取走a−a[k]個石子，轉化為(a[k],b)
⑤a<a[k]&&b==b[k]：若a==a[j] (j<k)，則從第二堆取走b−b[j]個石子，轉化為(a,b[j])；
否則必有a==b[j](j<k)a==b[j](j<k)，則從第二堆取走b−a[j]b−a[j]個石子，轉化為(a[j],a)
例如5 8 ，5>a(8-5)=a3=4 8>b(8-5)=b3=7 從兩堆中取走a-a(b-a)=5-4=1個，變成奇異局勢(4,7)。
例如4 6 ，4>a(6-4)=a2=3 6>b(6-4)=b2=5 從兩堆中取走a-a(b-a)=4-3=1個，變成奇異局勢(3,5)。
可以理解成變成差為b-a的奇異局勢。
如果a=bk並且b-a!=k，則從b堆中取走b-ak個，變成奇異局勢(ak，bk).
例如，5 10 ，5=b2 10-5=5!=2 則從10中取走10-a2=10-3=7個，變成奇異局勢(3,5)。
為什麼要b-a!=k呢？例如7 10 ， 7=a3，10-7=3=k 也可以變成奇異局勢(4,7)。但這已經在4）判斷過了。
奇異局勢就是當你面臨這種情況的時候，你必然是輸的，反之，你必贏。 （a,b）,a,b兩堆物品的重量，此處是b>a; 解題的技巧： if a > b , 交換兩個值。 c = b-a; c = （int）(c*(（根號5）+1)/2） if(c == b) 先手必輸 else 先手必贏 題目： HDU1527 HDU2177特別要注意HDU2177這道題目。尼姆博弈（Nimm Game）：
尼姆博弈指的是這樣一個博弈遊戲： 有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件， 取到最後一件物品的人獲勝。
結論就是：把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值為0，那麼先手必敗，否則先手必勝。
可以參考這個網站，https://blog.csdn.net/u011644423/article/details/37870703。
經典題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2176