根號演算法

分塊

數列分塊入門九題（hzwer）

• 入門題1,2,3,4,5,7

問題：給一段區間打上標記後單點查詢

解法：主要是每塊維護一些標記，計算答案等，此類分塊較為簡單

注意：塊大小一般為\(\sqrt n\)

複雜度：\(O(n\sqrt n)\)

• 入門題6

問題：每次朝數列中間插入一個元素，查詢第k個元素是什麼

解法：塊大小超過一定值後暴力重構！採用連結串列實現

複雜度：\(O(n\sqrt n)\)

• 入門題8

問題：每次詢問一個區間內為\(c​\)的元素個數，並把整個區間改為\(c​\)

解法：維護一個區間覆蓋標記，如果塊內沒有標記就暴力修改

注意：複雜度分析要用到FlashHu的勢能分析

勢能（potential energy)是儲存於一個系統內的能量，也可以釋放或者轉化為其他形式的能量。

把一個塊攪亂，相當於給其增加\(O(\sqrt n)\)的勢能，表示其再次被打上全域性tag所需要的代價

每次操作最多把兩個塊攪亂，所以每次操作最多增加\(O(2\sqrt n)\)的勢能，同時整理好一個塊需要的代價是其勢能，並能把其勢能降為\(O(1)\)

這樣子最多攪亂\(n\)個塊，增加\(O(2n\sqrt n)\)的勢能，最多把他們所有的勢能都變成\(1\)，複雜度為\(O(4n\sqrt n)=O(n\sqrt n)\)

理解：增加勢能需要相應代價，減少勢能也需要相應代價，對應分析其最大勢能即可得出複雜度

拓展：分析每次可以從棧中彈出多個元素的複雜度（還是\(O(n)\)，其總勢能最大為\(O(n)\)）

• 入門題9

問題：線上維護區間最小眾數

解法：離線就可以用莫隊搞了

考慮分塊，分塊是一個很好的演算法，維護每個數在數列中的字首和是\(O(n^2)\)的時空複雜度，但是給分個塊就可以做到\(O(n\sqrt n)\)了

一段區間的眾數一定屬於：A.零散塊內的數 B.整塊內的眾數，一共數量不超過\(\sqrt n\)個

所以維護兩個陣列：\(f[i][j]\)表示從第\(i\)塊到第\(j\)

之後便只需要：A.統計每個數在整塊內的出現個數\(O(1×\sqrt n)\) B.統計零散塊中的數\(O(\sqrt n)\)

綜上，複雜度為\(O(n\sqrt n)\)，完美通過此題/蒲公英

分塊出過什麼題

維護序列哈，支援一些線上的區間詢問

• 區間tag單點查詢、區間查詢等等老掉牙的套路（但是考場上遇到維護序列的題這也是一種思想方式）

  ​

• 詢問位置\(\%p=k\)的數的權值和，要求支援單點修改，\(val\le 1W,n\le 15W\)（雜湊衝突）

對於\(p\le\sqrt n\)，維護\(s[p][k]\)表示答案，這個可以\(O(n\sqrt n)\)掃一遍得到答案

對於\(p>\sqrt n\)，可以開\(s[i][1k]\)表示第i塊的桶，統計字首和，然後暴力對\(\sqrt n\)的桶掃一遍

綜上，複雜度為\(O(n\sqrt n)\)

• 求區間逆序對數，不修改，\(n\le 5W\)（Gty的妹子序列）

先預處理好\(s[i][j]\)表示從第\(i\)塊的開頭到\(j\)位置這一段區間產生的逆序對數，\(O(n\sqrt n logn)\)

然後查詢時剩下的左半截用主席樹暴力查詢，\(O(n\sqrt nlogn)\)

• 單點修改，求最短字首使得字首\(gcd\)與字首\(xor\)的乘積恰好為\(x\)，\(n\le 10W\)（公約數數列）

有一個奇妙的性質：一個數集的\(gcd\)在加入一個數後要麼不變，要麼至少\(/2\)。

對每一塊維護一個gcd和、異或字首和、Map(維護異或字首和為x的位置)

然後修改就暴力重構該塊\(O(n\sqrt nlogn)\)

查詢就依次掃每一個塊，如果這個塊沒有使得gcd減小，那麼這個塊內每一個位置的字首gcd都相同，在Map中查詢是否有符合條件的異或和即可；如果gcd減小了就暴力一個一個找，由於上面的性質暴力掃的塊不會超過\(logn\)個。

總複雜度為\(O(n\sqrt nlogn)\)

• 無修改詢問區間內數值\(\%p=k\)的元素個數，\(n\le 15W\)（考試9.20T3）

若\(p\le\sqrt n\)，對每塊維護\(s[i][p][k]\)表示答案，然後邊角暴力統計，\(O(n\sqrt n)\)

若\(p>\sqrt n\) ，對每塊維護\(s[i][j]\)表示桶，然後做一個字首和暴力查詢，\(O(n\sqrt n)\)

簡直傻逼我做不出真是太菜了

莫隊

樹莫隊

有兩種方法，一種是把樹劃分成若干塊，然後暴力去移動其中一個端點；另一種是把樹的尤拉序摳出來（像括號序列，每個點出現兩次），轉化為序列問題後再用序列莫隊的方法。我學習的是拓展性更強的後者。兩者都要用\(vis[i]\)表示i這個點選了沒選，每次\(update\)就把\(vis[x]^=1\)

序列莫隊

無修

對序列位置分塊，每塊大小為\(\sqrt n\)，將詢問離線，按照左端點所在塊為第一關鍵字，右端點為第二關鍵字排序，每次暴力移動轉移，複雜度\(O(n\sqrt n)\)

帶修

塊大小為\(n^{\frac{2}{3}}\)，按照左端點所在塊為第一關鍵字，右端點所在塊為第二關鍵字，操作時間為第三關鍵字排序（所有排序都是從小到大），複雜度\(O(n^{\frac{5}{3}})\)

分治

序列分治

一般適用於：一組詢問，物件是所有子區間的問題

把區間分治成為跨過中點的區間和左右分治

點分治

• 樹上路徑摳成序列後DP（有結合律），可以採用點分治實現（牛客Wannafly24C網址）

  實現方式：把詢問掛鏈，分治的時候，把分治區域的\(rt\)都設定為分治中心，同時給不同子樹標個不同的\(Tag\)（同一子樹相同）。每到一個結點便掃一遍詢問，當詢問的另一個點也在同樣的分治區域，並且\(Tag\)不同，便計算貢獻。

  這樣能夠保證不重不漏地計算所有的貢獻，複雜度為\(O(nlogn*DP)\)，為點分治×DP的複雜度（詢問只會被掃log次）

倍增

並查集倍增

[SCOI2016]萌萌噠 對區間的每個點一一對應連並查集