動態規劃

序列DP

有些問題：

• 求長度為\(l\)的上升子序列個數

  形如一個值域的字首和的形式，還要支援插入，所以可以用樹狀陣列優化DP，\(O(n^2logn)\)求解（[BZOJ4361]isn）

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• 求最長上升子序列長度

  兩種做法，前者拓展性更強

  • 設\(f[i]\)表示到第\(i\)個位置的最長上升子序列長度，則\(f[i]=max(f[j]+1),j<=i\&\&A[j]<A[i]\)，用值域樹狀陣列優化字首\(max\)即可

  • 設\(f[i]\)表示最長上升子序列長度為\(i\)的最小結尾值，可以知道\(f\)是單調遞增的。新加入一個數\(x\)

    時找到大於等於\(x\)的第一個位置\(j\)，\(f[j]=x\)，意思是長度為\(j\)的最長上升子序列可以在\(j-1\)的基礎上接\(x\)而不是接\(f[j]\)，同時對其他的\(f\)不影響。如果\(x\)大於了最大值，\(f\)往後加一位

    如果求的是不降子序列那找到嚴格大於\(x\)的位置即可

  關於最長上升子序列，有一個很神奇的性質：擁有雙權值的序列，對其一維排序，對另一維做\(LIS\)答案相同

  這個性質彷彿並沒有什麼用.....證明：對某一維排序並不影響兩個元素間的二維偏序關係

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• 序列為樹的前序遍歷，則為區間DP問題

考慮方向：

• 對區間DP
• 對長度DP
• 考慮倍增優化

揹包問題

• 充分利用好題目條件，隱含著物品有無限制、不會超過\(\sqrt n\)個等條件
• 物品代價的整倍數，用同餘系的單調佇列優化

狀態壓縮以及拆分數

在點數很少的情況下可以進行狀態壓縮
點如果是沒有區別的，可以採用拆分數進行更大資料範圍的操作，再組合計數即可

\(40\)內的拆分數在\(4W\)以內

期望概率DP

馬爾可夫過程

大概就是說狀態可以回退，自己可以轉移給自己或者自己之前的狀態，這就需要高斯消元了

• [JLOI2012]時間流逝

樹上馬爾可夫過程，\(f[i]=Pf[fa]+(\sum f[son])+1\)

需要高斯消元但是時間不夠，介紹一種 \(O(n)\)

假設\(f[i]=kf[fa]+b\)，然後依次可以推匯出\(f[i]=\frac{P}{1-A\sum k}f[fa]+\frac{1+A\sum b}{1-A\sum k}\)，從而表示這個表示可行，然後對於每個點算\(k\)和\(b\)就可以得到根的答案了

一類生成樹計數問題

樹的生成方式為：每次在當前的樹的結構上隨機選取一個點，在其下方掛上一個結點

已經遇到的題目：

• 問期望高度（10.17T2）

  設\(f[i][j]\)表示放了\(i\)個結點，高度不超過\(j\)的方案數，轉移是\(f[i][j]=f[k][j-1]+f[i-k][j]\)，表示為一棵樹連到了另一棵樹的根。最後除以階乘即可。

• 問期望\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}dis(i,j)\)（HAOI2018蘋果樹）

  考慮每一條邊產生的貢獻，列舉\(i\)點的\(siz\)，然後乘上\(1-i\)的生成方式、\(i\)子樹的生成方式、其他地方的生成方式、以及i子樹內選擇編號的方案數

平方計數

求\(\sum a^2\)

• 如果\(a\)是到達某種狀態的方案數，那麼可以等價為求兩種操作序列最後得到的狀態相同的方案數（NOI2009管道取珠）