先用一個例子解釋卡方。

一個硬幣，正面是字，反面是花。拋20次，有11次是字，9次是花。根據這個丟擲結果，可否假設拋一次硬幣出現字和花的概率都是50%？驗證這個假設，就是卡方檢驗。

期望次數：假如認為子和花出現概率都是50%丟擲的理論次數。本例中，拋20次，如果字和花出現的概率相同，那麼它們的期望次數都10。

我們可以把觀察次數和期望次數放到下表。

從直覺來說，如果觀察次數和期望次數是一樣的，假設是合理的。如果觀察次數和期望次數差別比較大，則假設是不合理的。由此，設計一個衡量觀察次數和期望次數之間差異的值。又考慮到，如果拋硬幣次數不是10，是100次，會被影響，因此需要去掉次數的影響，也就是分別除以字和花的期望次數，本例這兩個值都是10，即。

又考慮到，如果這不是一個硬幣，是一個骰子，那麼表格就會增加4行，由此導致變化，也需要去掉這個因素的影響，這個因素稱之為自由度。

如何計算自由度？只要一種可能的話，自由度是0，有兩種可能，自由度是1。如果拋不是一個硬幣，而是一顆檯球，上面數字只有一種可能，此時自由度是0。一個藥片，吃下去的有三種結果：病治癒，病惡化，病不變，如果吃下去只有治癒這個可能，自由度是0，如果有三種可能，自由度是2。

對於本例的表格而言，行和列的自由度都有自己的自由度，分別是行數和列數減一。又考慮到行數和列數的乘積是表中數值的總數，因此全表對應的自由度是行和列自由度的乘積。本例的自由度由此計算出來是1。

對本例而言，計算出的越小，越能驗證假設是正確的，越大，越證明假設是錯誤的。那麼，究竟有多小，可以大概率認為假設正確呢？經驗而言，大家認為95%的概率是足夠大。95%的概率，從數學上解釋是這樣的：的概率密度曲線，自變數從0開始到某一個值之間的累計概率等於95%，也就是從0到這個值的概率密度曲線和x軸之見的面積是95%。可以參考下圖，上面每條線都是某自由度下的卡方概率密度曲線。

比如，對於k=1的情況，就是最下面的黑線，從0到某個值之見，概率密度曲線和座標軸之見的面積是0.95%。如果假設95%是正確的，那麼計算出來的值應該小於這個值。反之，如果我們以95%的概率認為假設是錯誤的，那麼計算出來的計算出來的值要大於這個值。

屬於95%概率教置信度，本例那麼置信度就是0.95。

為方便使用，概率密度曲線的自由度、置信度對應關係有一張表可以查到（表來自https://www.jianshu.com/p/807b2c2bfd9b），如下：

自由度是1且置信度是0.95的情況下，的上限是3.841，而此前計算出來的值0.2小於上限，因此可以視為假設成立。假設成立，就意味著如果丟擲的結果是字11次花9次能驗證字和花的出現概率都是50%。

上面的表，叫 卡方分佈臨界值表。不同的分佈有不同的表。自由度1，就是一個標準正態分佈的變數的平方模擬出來的，自由度2,是兩個標準正態分佈變數的平方和模擬出來的，其他以此類推。

泛化一下，卡方檢驗的計算公式是，其中，表示觀察值，表示期望值。對於單變數，比如本例，表示樣本出現的可能值的數量。

對於多變數多種可能，公式又可以修改為。後文我們會用另一個例子說明。

牛奶和感冒的例子。https://blog.csdn.net/snowdroptulip/article/details/78770088

https://blog.csdn.net/snowdroptulip/article/details/78770088

https://blog.csdn.net/qq_39303465/article/details/79223843

http://www.cnblogs.com/emanlee/archive/2008/10/25/1319569.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_test

https://www.zhihu.com/question/21195469

未完待續。