設a為大於1的正整數，則a的除1以外的最小正因數q是素數，且a為合數時，q<=a^-2

證明，假設q是a的最小素因子，則a可以表示為qm，（m不為1），假設q>m，如果m為素數，則與q為最小素因子的前提矛盾，若m為合數，那麼m的因子中必定含有比q小的素因子，且其也為a的因子，也與q是a的最小素因子矛盾。所以q<=m，那麼mq >= q^2，即q<=a^-2

整數唯一分解定理：任何大於1的整數都能分解成素數的乘積，即對於整數a>1，有a=p1p2..pn（1），其中p1,p2..pn為素數，並且若a=q1q2..qm（2），則m=n，qi=pi(i=1,2..n）

證明：數學歸納法
首先a=2的情況下顯然成立，假設對於小於a的任意整數都成立，考慮a為素數是顯然成立的。如果為合數則a可以表示為bc，1 < b <= c < a，可知b,c可表示為素數乘積，因此a也可表示為素數乘積，故式（1）成立
證明唯一性：p1p2..pn=q1q2..qm，由引理：若q|ab，則q|a或q|b（q為素數） 可知
p1| qj,q1|pk,由於qj,pk為素數，則p1=qj,q1=pk，同時有p1>=q1（假設pn 和qm 序列按大小排好了），且q1 >= p1，所以p1 = q1，以此類推，最後可得pn=qm，m=n

一次不定方程
二元一次不定方程是指ax+by=n，其中a,b,n為給定的整數，且ab！=0，那麼該方程有解的充分必要條件是(a,b)|n
證明：必要性：不妨設(a,b)=k ,那麼a = mk b= nk,其中m與n互質
那麼原方程可化為k(mx+ny)=n，其中k為整數，n為整數，mx+ny也是整數，則有k|n，即（a,b)|n
充分性可自行證明
進一步的，若（a,b）=1，那麼該方程的全部解可表示為x = x0+bt, y = y0-at， x0，y0為一組解，t為任意整數。
證明 假設ax0+by0=n 那麼a(x0+bt) + b(y0-at)=ax0+by0+abt-abt=n

考慮不定方程a1x1+a2x2=n，(a1,a2)=1，a1,a2大於0，在n>a1a2時，該方程有正整數解，但在n=a1a2時,沒有正整數解
證明，不妨兩邊同減去a1a2，a1(x1-a2) + a2x2 = n - a1a2 若 n =a1a2，假設x1>=a2 ，則必有x2<=0，與假設矛盾，若0