1.Multiple Features

目前，我們只討論了單特徵的迴歸模型，現在來增加一些特徵。

增添更多特徵後，我們引入一系列新的註釋：
$n$ —— 代表特徵的數量。
$x^{(i)}$代表第 i 個訓練例項，是特徵矩陣中的第 i 行，是一個向量（vector）。
比方說，上圖的$x^{(2)}=\begin{bmatrix}1416\\3\\2\\40\end{bmatrix}$,
$x_j^{(i)}$代表特徵矩陣中第 i 行的第 j 個特徵，也就是第 i 個訓練例項的第 j 個特徵。如上圖的

$x_3^{(2)}=2$。
支援多變數的假設 h 表示為：$h_\theta(x) = \theta_0+x_1\theta_1+x_2\theta_2+\dots+x_n\theta_n$
這個公式中有 n+1 個引數和 n 個變數，為了使得公式能夠簡化一些，引入 $x_0=1$，則公式轉化為：
此時模型中的引數是一個 n+1 維的向量，任何一個訓練例項也都是 n+1 維的向量，特徵矩陣 X 的維度是 m*(n+1)。 因此公式可以簡化為：$h_\theta(x) =\theta^T X$ 其中上標 T 代表矩陣轉置。

2.Gradient Descent for Multiple Variables

$J(\theta_0,\theta_1\dots\theta_n) =\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})\right)^2$

其中： hθ(x)=θ0+x1

θ1+x2θ2+⋯+xnθn $h_\theta(x) = \theta_0+x_1\theta_1+x_2\theta_2+\dots+x_n\theta_n$

我們的目標和單變數線性迴歸問題中一樣，是要找出使得代價函式最小的一系列引數。多變數線性迴歸的批量梯度下降演算法為：

$$\begin{array}{} \color{red}{這裡需要注意的是x的下標，求導之後會變為具體的1、2、3、、、n} \end{array}$$

3.Gradient Descent —— Feature Scaling

在我們面對多維特徵問題的時候，我們要保證這些特徵都具有相近的尺度，這將幫助梯度下降演算法更快地收斂。
以房價問題為例，假設我們使用兩個特徵，房屋的尺寸和房間的數量，尺寸的值為 0-2000 平方英尺，而房間數量的值則是 0-5，以兩個引數分別為橫縱座標，繪製代價函式的等高線圖能， 看出影象會顯得很扁，梯度下降演算法需要非常多次的迭代才能收斂。

$x_n=\frac{x_n-\mu_n}{s_n}$

其中$\mu_n$是平均值，$s_n$是標準差。

3.Features and Polynomial Regression

4.Normal Equation