BZOJ4820: [Sdoi2017]硬幣遊戲
阿新 • • 發佈：2018-11-07
Description
週末同學們非常無聊，有人提議，咱們扔硬幣玩吧，誰扔的硬幣正面次數多誰勝利。大家紛紛覺得這個遊戲非常符 合同學們的特色，但只是扔硬幣實在是太單調了。同學們覺得要加強趣味性，所以要找一個同學扔很多很多次硬幣 ，其他同學記錄下正反面情況。用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，扔很多次硬幣後，會得到一個硬幣序列。比 如HTT表示第一次正面朝上，後兩次反面朝上。但扔到什麼時候停止呢？大家提議，選出n個同學，每個同學猜一個 長度為m的序列，當某一個同學猜的序列在硬幣序列中出現時，就不再扔硬幣了，並且這個同學勝利，為了保證只 有一個同學勝利，同學們猜的n個序列兩兩不同。很快，n個同學猜好序列，然後進入了緊張而又刺激的扔硬幣環節 。你想知道，如果硬幣正反面朝上的概率相同，每個同學勝利的概率是多少。Input
Output
輸出n行，第i行表示第i個同學勝利的概率。 輸出與標準輸出的絕對誤差不超過10^-6即視為正確。Sample Input
3 3THT
TTH
HTT
Sample Output
0.33333333330.2500000000
0.4166666667
題解Here!
給你一個字串集，要求構造一個$01$串$S$，每個位置等概率的插入$0,1$。
問字串集中每個字串最先出現在構造的串中的概率。
考慮到合法狀態其實只有$n$個，其餘的狀態可以合併成一個狀態——"不合法的狀態"。
如果能這樣列出方程，那麼複雜度就是$O(n^3)$，是可以接受的。
設$S$為一種不合法的狀態（即沒人贏），$A=101,B=110$
引理：構造出一個長的$l$特定$01$串的概率是$$\frac1{2^l}$$
到$S+101$狀態一定會停止遊戲，但不一定要等到$101$加完才停止。
如果SS的字尾是$1$或者$10$那麼就會提前結束。
也就是說可能會有這些情況：
$$S101=(S+A)+(S'+A+01)+(S''+B+1)$$
其中$$S=S'+10=S''+1$$
根據上面的引理，可以得到方程：
$$\frac18S=(1+\frac14)A+\frac12B$$
也就是說對與每一個$S+x_i,len(x_i)=m$，
如果$x_j$存在長度為$a$的字尾能匹配$x_i$的字首,,那麼就有
$$\frac1{2^{m-a}}$$
的概率提前結束。
設$pre_{a,x_i}$表示$x_i$長度為$a$的字首，字尾$suf_{a,x_i}$同理。
寫成通式就是：
$$x_i+\sum_{j=1}^n\sum_{a=1}^m[pre_{a,x_i}=suf_{a,x_j}]\frac1{2^{m-a}}x_j=\frac1{2^m}S$$
這樣我們就只有$n+1$個方程了。
最後再把其中一個方程替換為$\sum x_i=1$。
至於如何快速匹配字首和字尾就套路性地丟給了字串雜湊。。。
解方程自然是高斯消元。
附程式碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 310
#define eps (1e-12)
using namespace std;
int n,m;
char ch[MAXN];
double p[MAXN],ans[MAXN],f[MAXN][MAXN];
unsigned long long base[MAXN],hash_pre[MAXN][MAXN],hash_suf[MAXN][MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
void solve(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
int k=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])-fabs(f[k][i])>eps)k=j;
for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(f[i][j],f[k][j]);
if(fabs(f[i][i])<eps)continue;
double num=f[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)f[i][j]/=num;
for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j){
num=f[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)f[j][k]-=f[i][k]*num;
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
for(int j=i+1;j<=n;j++)f[i][n+1]-=f[i][j]*ans[j];
ans[i]=f[i][n+1]/f[i][i];
}
}
void work(){
solve(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.10lf\n",ans[i]);
}
void init(){
n=read();m=read();
base[0]=p[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
base[i]=base[i-1]*3;
p[i]=p[i-1]*0.5;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",ch+1);
for(int j=1;j<=m;j++){
hash_pre[i][j]=hash_pre[i][j-1]+(ch[j]=='H'?1:2)*base[j];
hash_suf[i][j]=hash_suf[i][j-1]*3+(ch[m-j+1]=='H'?1:2)*3;
}
}
f[n+1][n+2]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i][n+1]=-p[m];
f[n+1][i]=1;
for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=m;k++)if(hash_pre[i][k]==hash_suf[j][k])f[i][j]+=p[m-k];
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}