題意

給你一個字串集

構造一個01$01$串S,$S,$每個位置等概率的插入01$01$

問字串集中每個字串最先出現在構造的串中的概率

題解

TLE$TLE$原因在於方程個數的nm$nm$的,這樣顯然是不行的

考慮到合法狀態其實只有n$n$個,$,$其餘的狀態可以合併成一個狀態——”不合法的狀態”

如果能這樣列出方程,$,$那麼複雜度就是O(n3)$O(n^3)$是可以接受的

設S$S$為一種不合法的狀態(即沒人贏),A=101,B=110$,A=101,B=110$

引理:構造出一個長的l$l$特定01$01$串的概率是12l$\frac{1}{2^l}$

到S+101$S+101$狀態一定會停止遊戲,但不一定要等到101$101$加完才停止

如果S$S$的字尾是

也就是說可能會有這些情況

其中S=S′+10=S′′+1$S=S^{\prime }+10=S^{″}+1$

根據上面的引理,$,$可以得到方程18S=(1+14)A+12B$\frac{1}{8}S=(1+\frac{1}{4})A+\frac{1}{2}B$

也就是說對與每一個S+xi,len(xi)=m$S+x_i,len(x_i)=m$

如果xj$x_j$存在長度為a$a$的字尾能匹配xi$x_i$的字首,$,$那麼就有12m−a$\frac{1}{2^{m-a}}$的概率提前結束

設prea,xi$pr{e}_{a,x_i}$表示xi$x_i$長度為a$a$的字首,$,$字尾同理

寫成通式就是

這樣我們就只有n+1$n+1$個方程了

最後再把其中一個方程替換為∑xi=1