例 最長公共字串 Longest common subsequence problem

問題描述：這個，很。。。顯而易見吧，不知道的，。。。看這裡 http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_subsequence_problem

當然這裡，我們也是要先找遞迴的。假設我的兩個sequence，一個是X，長度為n；另一個是Y，長度為m。

現在假設我有兩個point，一個是i，指在X的最後一個元素上，另一個是j，指在Y的最後一個元素上。我們的遞迴應該是分三種情況的。

1）如果X[i] == Y[j] 那麼LCS(X[i],Y[j]) = LCS(X[i-1],Y[j-1]) + 1

這個很明顯，因為發現了一組公共元素，就看剩下的有多少公共元素。

2. 如果X[i] != Y[j] 那麼 LCS(X[i],Y[j]) = max( LCS(X[i-1], Y[j]), LCS(X[i], Y[j-1]) )

這個其實也很容易相同，就是如果發現不同的，就去掉X或Y的最後一個，然後和另一個完整的比較，這樣去掉X還是Y的最後一個，就有兩種可能，所以就是要找中間max的一個。

3. 如果 i=0 或者 j=0，就return 0

因為有一個sequence已經完了。

所以遞迴這裡還是比較明顯的：

LCS(n,m){

　　if m==0 || n==0

　　　　return 0;

　　if(X[n] == Y[m])

　　　　return LCS(n-1,m-1)+1;

　　else

　　　　return max( LCS(n,m-1), LCS(n-1,m) );

}
 

現在有了遞迴，我們就應該能把它寫成tabular的DP。

初始化：Table LCS的第一行第一列都設為0。

for i = 1 to m

　　for j = 1 to n

　　　　if(X[i]==Y[j])

　　　　　　LCS[i,j] = LCS[i-1,j-1]+1;

　　　　else

　　　　　　LCS[i,j] = max(LCS[i,j-1], LCS[i-1,j] );