題目解讀

原題連結：牛客網 北京大學歷年考研複試機試專題

題目描述

把 M 個同樣的蘋果放在 N 個同樣的盤子裡，允許有的盤子空著不放，問共有多少種不同的分法？
注意：5、1、1 和 1、5、1 是同一種分法，即順序無關；

輸入描述

輸入包含多組資料，每組資料包含兩個正整數 m和n（1≤m, n≤20）

輸出描述:

對應每組資料，輸出一個整數k，表示有k種不同的分法。

示例1

輸入
7 3

輸出
8

題意理解

將M個蘋果放到N個同樣的盤子中，允許有空盤子不放。脫離實際問題進行分析，這實際上就對應於一個整數劃分的問題。用數學語言進行描述，即有：給定一個整數M，將它分解為集合 { a1 , a2 , a3……ak }，要求集合中的元素滿足a1+a2+a3+……+ak=M,且元素總個數<=N，求有多少種不同的集合？

演算法分析

依照通常動態規劃問題的思路，考慮這樣一個數組dp[m][n] , 表示在有m個蘋果，n個盤子時總的分法數量。
先考慮這樣一種情況：m < n時，蘋果的數量小於盤子的數量。在這種情況下，即使按照最大程度使用盤子，即每個盤子中只放一個蘋果，仍然只能使用m個盤子，則剩下n-m個盤子必然是空的，這些盤子對於實際的劃分方案沒有影響。因為集合中元素不考慮排序的問題，所以也不需要考慮哪m-m個盤子為空，這個時候dp[m][n] 就退化為 dp[m][m] 。
第二種情況下有m>=n, 蘋果的數量大於等於盤子的數量。我們接下來的劃分標準變為是否含有空盤子。如果沒有空盤子，我們可以先向每個盤子中分配一個蘋果，這樣就保證了所有的盤子均不為空 ; 如果至少有一個空盤子，則將這個空盤子給減出來；綜上可知，在這第二種情況中的狀態轉移方程為：
dp[m][n] = dp[m-n][n] + dp[m][n-1] ；
至於這裡為什麼只加了一個dp[m][n-1]，而沒有加dp[m][n-2]……這是因為對於dp[m][n-1]中實際上已經包含了對m放到n-1個盤子中的各種情況，也包括只是用n-2個盤子，那對於此時dp[m][n]而言，相當於有兩個空盤子沒被使用。其他空盤子數量的時候同理可得。

注意點

對於初始化的時候，應該考慮：
任意數量的蘋果，0個盤子或者1個盤子，方案數量均為1 ；
任意數量的盤子，0個蘋果或者1個蘋果，方案數量均為1 ；

程式碼

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXNUM 21

using namespace std ;

int n,m;

void Search()
{
    int dp[MAXNUM][MAXNUM];
    memset(&dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<=n;i++){
        dp[0
 
][i]=1;
        dp[1][i]=1;
    }
    for(int i=0;i<=m;i++){
        dp[i][0]=1;
        dp[i][1]=1;
    }
    for(int i=2;i<=m;i++){
        for(int j=2;j<=n;j++){
            if(i<j){
                dp[i][j] = dp[i][i];
            }
            else{
                dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m][n]);
    return ;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){
        Search();
    }
    return 0 ;
}