卡特蘭數的幾種模型整理

以下整理基於《*數學奧林匹克命題人講座* 集合與對應》2009年1月第1版

$Cat_n$ 表示卡特蘭數的第 $n$

n

項，且存在關係：

Cat_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^n,\frac{Cat_n}{Cat_{n-1}}=\frac{4n-2}{n+1}

$n$ 邊形的剖分
凸 $n+2$ 邊形用 $n-1$ 條（除端點外）無公共點的對角線剖分的種數為 $Cat_n$
添括號
對 $n+1$ 個項進行添括號的方案數為 $Cat_n$
惠特沃斯曲線（ $W$ 線）
$(1)$ 從原點 $(0,0)$ 沿座標網格向右或者向上走到 $(n,n)$ 的路線有 $C_{2n}^n$ 條，其中路線上的任意點都不在 $y=x$ 上方的路線叫做惠特沃斯曲線，即 $W線$ 。從原點走到 $(n,n)$ 的惠特沃斯曲線的數量為 $Cat_n$
$(2)$ 從原點 $(0,0)$ 沿座標網格向右或者向上走到 $(n,n)$ 且路線與 $y=x$ 不相交的方案數為 $Cat_{n-1}$
圓周上的點染色
將 $2n+1$ 個排在圓周上的點中的 $n$ 個染成白色，剩下的染成黑色的方案數為 $Cat_n$
互不相交的弦
將 $2n$ 個圓周上的點連成 $n$ 條互不相交的弦的方案數為 $Cat_n$
令 $n$ 元有序陣列的集
$A_n=\{(a_1,a_2,...,a_n)|1=a_1\leq a_2\leq ... \leq a_n;a_i∈Z,i=1,2,...,n\}$
則 $|A_n|=Cat_n$
排隊/排序問題
$(1)$ 現在有男生女生各 $n$ 人，男孩佇列次序為 $a_1,a_2,...,a_n$ ，女孩佇列次序為 $b_1,b_2,...,b_n$ 。現在將他們併為一列，保證男孩出現先後次序不變，女生出現先後次序不變，且 $a_i$ 必須在 $b_i$ 前面的排隊方案數為 $Cat_n$
$(2)$ 一共 $2n$ 人且高矮各不相同，有多少種方法將他們從高到低次序排列成兩行，每行 $n$ 人，並且第一行的第 $i$ 人高於第二行的第 $i$ 人的方案數為 $Cat_n$

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