一、理解熵

1、首先看到這個詞會產疑問，熵是什麼？誰定義的？用來幹什麼的？為什麼機器學習會用到熵？
有了這些疑問後慢慢的開始探索～
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熵，熱力學中表徵物質狀態的參量之一，用符號S表示，其物理意義是體系混亂程度的度量。 克勞修斯(T.Clausius) 於1854年提出熵(entropie)的概念, 我國物理學家胡剛復教授於1923年根據熱溫商之意首次把entropie譯為“熵”。A.Einstein曾把熵理論在科學中的地位概述為“熵理論對於整個科學來說是第一法則”。

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為了理解熵，必須講一點物理學。

19世紀，物理學家開始認識到，世界的動力是能量，並且提出"能量守恆定律"，即能量的總和是不變的。但是，有一個現象讓他們很困惑。

（上圖中，單擺在兩側的最高點，勢能最大，動能為零；在中間的低點，動能最大，勢能為零，能量始終守恆。）

物理學家發現，能量無法百分百地轉換。比如，蒸汽機使用的是熱能，將其轉換為推動機器的機械能。這個過程中，總是有一些熱能損耗掉，無法完全轉變為機械能。

（上圖中，能量 E 的轉換，總是會導致能量損耗 ∆E。）

一開始，物理學家以為是技術水平不高導致的，但後來發現，技術再進步，也無法將能量損耗降到零。他們就將那些在能量轉換過程中浪費掉的、無法再利用的能量稱為熵。

後來，這個概念被總結成了"熱力學第二定律"：能量轉換總是會產生熵，如果是封閉系統，所有能量最終都會變成熵。

熵既然是能量，為什麼無法利用？它又是怎麼產生的？為什麼所有能量最後都會變成熵？
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物理學家有很多種解釋，有一種我覺得最容易懂：能量轉換的時候，大部分能量會轉換成預先設定的狀態，比如熱能變成機械能、電能變成光能。但是，就像細胞突變那樣，還有一部分能量會生成新的狀態。這部分能量就是熵，由於狀態不同，所以很難利用，除非外部注入新的能量，專門處理熵。

（上圖，能量轉換過程中，創造出許多新狀態。）

總之，能量轉換會創造出新的狀態，熵就是進入這些狀態的能量。

現在請大家思考：狀態多意味著什麼？
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狀態多，就是可能性多，表示比較混亂；狀態少，就是可能性少，相對來說就比較有秩序。因此，上面結論的另一種表達是：能量轉換會讓系統的混亂度增加，熵就是系統的混亂度。

（上圖中，熵低則混亂度低，熵高則混亂度高。）

轉換的能量越大，創造出來的新狀態就會越多，因此高能量系統不如低能量系統穩定，因為前者的熵較大。而且，凡是運動的系統都會有能量轉換，熱力學第二定律就是在說，所有封閉系統最終都會趨向混亂度最大的狀態，除非外部注入能量。

（上圖中，冰塊是分子的有序排列，吸收能量後，變成液體水，分子排列變得無序。）

熵讓我理解了一件事，如果不施加外力影響，事物永遠向著更混亂的狀態發展。比如，房間如果沒人打掃，只會越來越亂，不可能越來越乾淨。
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（上圖中，如果不花費能量打掃，房間總是越來越亂。）

熵的解釋是混亂度的度量單位，一個系統的混亂度越高它的熵就越高
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二、理解資訊量

我們知道了熵的概念最早起源於物理學，用於度量一個熱力學系統的無序程度。在資訊理論裡面，熵是對不確定性的測量。

這裡有又產生了疑問，熵怎麼就合資訊理論產生了關係？
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資訊是我們一直在談論的東西，但資訊這個概念本身依然比較抽象。在百度百科中的定義：資訊，泛指人類社會傳播的一切內容，指音訊、訊息、通訊系統傳輸和處理的物件。

1、資訊量和事件發生的概率相關，事件發生的概率越低，傳遞的資訊量越大；
2、資訊量應當是非負的，必然發生的事件的資訊量為零；
3、兩個事件的資訊量可以相加，並且兩個獨立事件的聯合資訊量應該是他們各自資訊量的和；
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用數學表達如下：

三、理解資訊熵

但資訊可不可以被量化，怎樣量化？答案當然是有的，那就是“資訊熵”。早在1948年，夏農(Shannon)在他著名的《通訊的數學原理》論文中指出：“資訊是用來消除隨機不確定性的東西”，並提出了“資訊熵”的概念（借用了熱力學中熵的概念），來解決資訊的度量問題。

好了，這裡就產生了資訊熵！那麼怎麼解釋呢？那資訊熵如何計算呢？
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舉個吳軍在《數學之美》中一樣的例子，假設世界盃決賽圈32強已經產生，那麼隨機變數“2018年俄羅斯世界盃足球賽32強中，誰是世界盃冠軍？”的資訊量是多少呢？

根據夏農(Shannon)給出的資訊熵公式，對於任意一個隨機變數X，它的資訊熵定義如下，單位為位元(bit)：

把最前面的負號放到最後，便成了：

上面兩個熵的公式，無論用哪個都行，而且兩者等價，一個意思。
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那麼上述隨機變數（誰獲得冠軍）的資訊量是：

其中，p1,p2,…,p32分別是這32強球隊奪冠的概率。 吳軍的書中給出了幾個結論：一是32強球隊奪冠概率相同時，H=5；二是奪冠概率不同時，H<5；三是H不可能大於5。 對於第一個結論：結果是很顯然的，奪冠概率相同，即每個球隊奪冠概率都是1/32，所以H=-((1/32)·log(1/32)+(1/32)·log(1/32)+…+(1/32)·log(1/32))=-log(1/32)=log(32)=5(bit)

對於第二個結論和第三個結論：使用拉格朗日乘子法進行證明，詳見《求約束條件下極值的拉格朗日乘子法》。這實際上是說系統中各種隨機性的概率越均等，資訊熵越大，反之越小。

從夏農給出的數學公式上可以看出，資訊熵其實是一個隨機變數資訊量的數學期望。
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日常生活中，我們經常說某人說話言簡意賅，資訊量卻很大，某些人口若懸河，但是廢話連篇，沒啥資訊量；這個電視劇情節太拖沓，一集都快演完了也沒演啥內容。這裡的資訊量/內容與資訊熵有什麼關係呢？

很多人把這些東西與資訊熵混為一談，得出“說話資訊量越大，資訊熵越高”“語言越言簡意賅，資訊熵越高；語言越冗餘堆積，資訊熵越低。”等等結論。

不是說這些說法錯了，而是容易引起誤導。個人認為，這裡日常語境的資訊量與其說是資訊量，不如說是資訊質量和資訊傳遞效率問題，有沒有乾貨，有沒有觀點，有沒有思想，並且在一定的文字長度/播放時間內，能不能有效的表達出來，這個其實是人的能力問題，和資訊熵沒啥關係好不！

四、聯合熵、條件熵、交叉熵

聯合熵：兩個隨機變數X，Y的聯合分佈，可以形成聯合熵Joint Entropy，用H(X,Y)表示。

條件熵：在隨機變數X發生的前提下，隨機變數Y發生所新帶來的熵定義為Y的條件熵，用H(Y|X)表示，用來衡量在已知隨機變數X的條件下隨機變數Y的不確定性。
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且有此式子成立：H(Y|X) =H(X,Y) – H(X)，整個式子表示(X,Y)發生所包含的熵減去X單獨發生包含的熵。至於怎麼得來的請看推導：

簡單解釋下上面的推導過程。整個式子共6行，其中

第二行推到第三行的依據是邊緣分佈p(x)等於聯合分佈p(x,y)的和；
第三行推到第四行的依據是把公因子logp(x)乘進去，然後把x,y寫在一起；
第四行推到第五行的依據是：因為兩個sigma都有p(x,y)，故提取公因子p(x,y)放到外邊，然後把裡邊的-（logp(x,y)-logp(x)）寫成- log(p(x,y)/p(x)) ；
第五行推到第六行的依據是：條件概率的定義p(x,y) = p(x) * p(y|x)，故p(x,y) / p(x) = p(y|x)。
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相對熵：又稱互熵，交叉熵，鑑別資訊，Kullback熵，Kullback-Leible散度等。設p(x)、q(x)是X中取值的兩個概率分佈，則p對q的相對熵是：
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在一定程度上，相對熵可以度量兩個隨機變數的“距離”，且有D(p||q) ≠D(q||p)。另外，值得一提的是，D(p||q)是必然大於等於0的。

附錄：聯合熵、條件熵、交叉熵、互資訊

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#交叉熵例子

這是公式定義，x、y都是表示概率分佈（注：也有很多文章喜歡用p、q來表示），這個東西能幹嘛呢？

假設x是正確的概率分佈，而y是我們預測出來的概率分佈，這個公式算出來的結果，表示y與正確答案x之間的錯誤程度（即：y錯得有多離譜），結果值越小，表示y越準確，與x越接近。

比如：

x的概率分佈為：{1/4 ，1/4，1/4，1/4}，現在我們通過機器學習，預測出來二組值：

y1的概率分佈為 {1/4 , 1/2 , 1/8 , 1/8}

y2的概率分佈為 {1/4 , 1/4 , 1/8 , 3/8}

從直覺上看，y2分佈中，前2項都100%預測對了，而y1只有第1項100%對，所以y2感覺更準確，看看公式算下來，是不是符合直覺：

對比結果，H(x,y1)算出來的值為9/4，而H(x,y2)的值略小於9/4，根據剛才的解釋，交叉熵越小，表示這二個分佈越接近，所以機器學習中，經常拿交叉熵來做為損失函式(loss function)。