遞迴式求解-主方法

http://pytlab.org/2017/09/10/%E9%80%92%E5%BD%92%E5%BC%8F%E6%B1%82%E8%A7%A3-%E4%B8%BB%E6%96%B9%E6%B3%95/

本文對遞迴式求解中很重要的主方法進行介紹總結。

主方法

主方法為如下形式的遞迴式提供了一種”菜譜式”的求解方法:

T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n)
其中 a≥1,b>1 a≥1,b>1是常數， f(n) f(n)是漸進正數。

上式描述了這樣的一個演算法執行時間: 他將原問題的規模為 n

n的問題劃分為 a a個小的子問題，每個子問題的規模為原來的 1b 1b. a a個子問題遞迴的進行求解，每個花費時間為 T(n/b) T(n/b)。子問題合併的代價為 f(n) f(n)

主定理

這裡我將書上的定義直接貼上來了。

主方法依賴主定理:

令 a≥1 和 b>1 是常數， f(n) 是一個函式， T(n)

T(n)是定義在非負整數上的遞迴式:

T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n)
其中我們將忽略舍入問題 n/b n/b解釋為 ⌊n/b⌋ ⌊n/b⌋和 ⌈n/b⌉ ⌈n/b⌉, 那麼 T(n) T(n)有如下漸進界:

若對某個常數 ϵ>0 有 f(n)=O(nlogba−ϵ) , T(n)=Θ(nlog

ba)
若 f(n)=Θ(nlogba) , 則 T(n)=Θ(n

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